Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) xx^2+2 y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para determinar o limite quando se aproxima de na função . Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como a função se comporta quando nos aproximamos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular o limite de uma função de duas variáveis, precisamos verificar se o valor do limite é o mesmo independente do caminho que tomamos para chegar ao ponto . Se encontrarmos caminhos onde o limite dá valores diferentes, então o limite não existe.

Passo 3

Vamos testar o caminho ao longo do eixo xx^2+2 cdot 0^2 = xx^2 = 1x , ou seja, onde . Substituindo na função:
À medida que se aproxima de 0, tende para ou dependendo da direção de (positivo ou negativo). Isso já indica que o limite pode não existir, mas vamos verificar mais um caminho.

Passo 4

Agora, vamos considerar o caminho ao longo do eixo 00^2+2 y^2 = 02 y^2 = 0 , ou seja, onde . Substituindo na função:
Aqui, o limite é claramente 0 quando nos aproximamos pelo eixo .

Passo 5

Comparando os dois caminhos:
  • Pelo eixo : O limite tende para .
  • Pelo eixo : O limite é 0.
Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, isso mostra que o limite não é o mesmo em todos os caminhos.

Resposta

O limite não existe, pois diferentes caminhos de aproximação levam a valores distintos.

Exercícios relacionados

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) 12 x^2+y^2
A função f(x, y)=x-yx+y verifica a equação y partial fpartial x+x partial fpartial y=-2(x-y)x+y ?
(Equipe 1) Resolva o sistema pelo método LU:
{ 5x + 2y + z = -12, -x + 4y + 2z = 20, 2x - 3y + 10z = 3 }
[1] integral sen^3(x) cos ^2(x) d x
[2] integral sen^6(x) cos ^3(x) d x
[3] integral0^pi / 2 sen^7(theta) cos ^5(theta) d theta
[5] integral sen^5(2 t) cos ^2(2 t) d t
[7] integral0^pi / 2 cos ^2(theta) d theta
[8] integral sen^3(raizx)raizx d x
[11] integral0^pi / 2 sen^2(x) cos ^2(x) d x
[16] integral tg^2(x) cos ^3(x) d x
[19] integral t sen^2(t) d t
[21] integral tg(x) sec ^3(x) d x
[27] integral tg^3(x) sec (x) d x
[30] integral0^pi / 4 tg^4(t) d t
[39] integral cossec(x) d x
[41] integral sen(8 x) cos (5 x) d x
[42] integral sen(2 theta) sen(6 theta) d theta
[45] integral0^pi / 6 raiz1+cos (2 x) d x
[48] integral 1cos (x)-1 d x
[49] integral x tg^2(x) d x