Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (0,0) x^4 sen(1x^2+|y|)

Passo 1

Vamos resolver o limite . Para isso, vamos utilizar propriedades das funções e teoremas de limites que nos ajudarão a determinar se esse limite existe e qual é o seu valor.

Passo 2

Primeiro, lembremos que a função seno tem a propriedade de estar sempre entre -1 e 1, ou seja:
para qualquer valor de -1 <= sen(z) <= 1 .

Passo 3

Aplicando essa propriedade à nossa expressão, temos:
Multiplicando todos os lados dessa desigualdade por -1 <= sen(1x^2+|y|) <= 1 (que é sempre positivo próximo de 0), obtemos:

Passo 4

Sabemos que à medida que e tendem a 0, também tende a 0. Portanto, tanto quanto tendem a 0 quando .

Passo 5

Segundo o Teorema do Sanduíche (ou Teorema das Frações), se uma função está “dentro” de duas funções que têm o mesmo limite, então essa função também terá esse limite. No nosso caso:
Como ambos - x^4 <= x^4 sen(1x^2+|y|) <= x^4 e tendem a 0, pelo teorema, o limite de também é 0.

Resposta

O limite é 0.

Exercícios relacionados

Determine e represente graficamente o domínio da função:
f(x, y) = raiz(9 - x^2) + raiz(y^2 - 4)
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (0,0) x yx^2+y^2+cos (x y)
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (0,1) x+y-1raizx-raiz1-y
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (0,0) x^3 y^3x^4+y^4