Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Passo 1
Vamos resolver o limite . Para isso, vamos utilizar propriedades das funções e teoremas de limites que nos ajudarão a determinar se esse limite existe e qual é o seu valor.
Passo 2
Primeiro, lembremos que a função seno tem a propriedade de estar sempre entre -1 e 1, ou seja:
para qualquer valor de
.
Passo 3
Aplicando essa propriedade à nossa expressão, temos:
Multiplicando todos os lados dessa desigualdade por
(que é sempre positivo próximo de 0), obtemos:
Passo 4
Sabemos que à medida que
e
tendem a 0,
também tende a 0. Portanto, tanto
quanto
tendem a 0 quando
.
Passo 5
Segundo o Teorema do Sanduíche (ou Teorema das Frações), se uma função está “dentro” de duas funções que têm o mesmo limite, então essa função também terá esse limite. No nosso caso:
Como ambos
e
tendem a 0, pelo teorema, o limite de também é 0.
Resposta
O limite é 0.
Exercícios relacionados
Determine e represente graficamente o domínio da função:
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
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