Determine o maior conjunto de pontos do
ou
, conforme o item, nos quais a função dada é contínua.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar o maior conjunto de pontos no plano
onde a função
é contínua. A matéria aqui é sobre continuidade de funções. Vamos precisar entender o que faz uma função ser contínua e verificar onde nossa função pode ter problemas, como pontos onde ela não está definida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função contínua. Uma função é contínua em um ponto se você consegue desenhá-la sem levantar o lápis do papel naquele ponto. Mais tecnicamente, para todo ponto no domínio da função, os limites laterais devem existir e ser iguais ao valor da função naquele ponto.
Passo 3
Nossa função é
. Vamos analisar os componentes dela. O numerador é 1, que é uma constante e nunca causa problemas. O denominador é
. Precisamos verificar quando esse denominador pode ser zero, porque aí a função não estaria definida.
Passo 4
Vamos resolver a equação
para encontrar possíveis valores de
que causariam divisão por zero:
No conjunto dos números reais
, não existe nenhum número que, ao ser elevado ao quadrado, dê
. Isso significa que
nunca será zero para nenhum valor real de
.
Passo 5
Como o denominador nunca é zero para qualquer
, a função
está definida para todos os pares
no plano
.
Passo 6
Além disso, a função é uma composição de funções contínuas:
é contínuo,
é contínuo, e
também é contínua onde está definida. Já vimos que está definida em todo
.
Resposta
O maior conjunto de pontos onde a função
é contínua é todo o plano
.
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