Determine o maior conjunto de pontos do ou , conforme o item, nos quais a função dada é contínua.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar o maior conjunto de pontos no plano onde a função é contínua. A matéria aqui é sobre continuidade de funções. Vamos precisar entender o que faz uma função ser contínua e verificar onde nossa função pode ter problemas, como pontos onde ela não está definida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função contínua. Uma função é contínua em um ponto se você consegue desenhá-la sem levantar o lápis do papel naquele ponto. Mais tecnicamente, para todo ponto no domínio da função, os limites laterais devem existir e ser iguais ao valor da função naquele ponto.

Passo 3

Nossa função é . Vamos analisar os componentes dela. O numerador é 1, que é uma constante e nunca causa problemas. O denominador é . Precisamos verificar quando esse denominador pode ser zero, porque aí a função não estaria definida.

Passo 4

Vamos resolver a equação para encontrar possíveis valores de que causariam divisão por zero:
No conjunto dos números reais , não existe nenhum número que, ao ser elevado ao quadrado, dê . Isso significa que nunca será zero para nenhum valor real de .

Passo 5

Como o denominador nunca é zero para qualquer , a função está definida para todos os pares no plano .

Passo 6

Além disso, a função é uma composição de funções contínuas: é contínuo, é contínuo, e também é contínua onde está definida. Já vimos que está definida em todo .

Resposta

O maior conjunto de pontos onde a função é contínua é todo o plano .

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