Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (2,1) (x-2)^2 ln (y)(x-2)^2+(y-1)^2

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está perguntando. Queremos encontrar o limite da função
lim (x, y) (2,1) (x-2)^2 ln (y)(x-2)^2+(y-1)^2
Isso faz parte do estudo de limites de funções de duas variáveis em Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como as variáveis e se comportam quando se aproximam dos valores 2 e 1, respectivamente, e como isso afeta a expressão dada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a análise. Para isso, fazemos uma mudança de variável:
  • Deixe lim (u, v) (0,0) u^2 ln (1 + v)u^2 + v^2
  • Deixe
Com essa substituição, quando , isso equivale a . A função fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar o termo ln(1 + v) approx v . Para valores de lim (u, v) (0,0) u^2 cdot vu^2 + v^2 próximos de 0, podemos usar a aproximação:
Então, substituindo na função:

Passo 4

Para encontrar o limite, vamos considerar diferentes caminhos pelos quais u^2 cdot 0u^2 + 0 = 0 pode se aproximar de 0 cdot v0 + v^2 = 0 . Se o limite for o mesmo por todos os caminhos, então exista. Vamos tentar alguns caminhos simples.
Caminho 1: u^2 cdot (k cdot u)u^2 + (k cdot u)^2 = k u^3u^2(1 + k^2) = k u1 + k^2
Substituindo na expressão:
Caminho 2:
Substituindo na expressão:
Caminho 3: onde é uma constante.
Substituindo :
À medida que , .

Passo 5

Como vimos, independente do caminho que escolhemos, o limite da função sempre tende a 0. Isso indica que o limite existe e é igual a 0.

Resposta

O limite existe e é igual a 0.

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