Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está perguntando. Queremos encontrar o limite da função
Isso faz parte do estudo de limites de funções de duas variáveis em Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como as variáveis
e
se comportam quando se aproximam dos valores 2 e 1, respectivamente, e como isso afeta a expressão dada.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a análise. Para isso, fazemos uma mudança de variável:
- Deixe
- Deixe
Com essa substituição, quando
, isso equivale a
. A função fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar o termo
. Para valores de
próximos de 0, podemos usar a aproximação:
Então, substituindo na função:
Passo 4
Para encontrar o limite, vamos considerar diferentes caminhos pelos quais
pode se aproximar de
. Se o limite for o mesmo por todos os caminhos, então exista. Vamos tentar alguns caminhos simples.
Caminho 1:
Substituindo
na expressão:
Caminho 2:
Substituindo
na expressão:
Caminho 3:
onde
é uma constante.
Substituindo
:
À medida que
,
.
Passo 5
Como vimos, independente do caminho que escolhemos, o limite da função sempre tende a 0. Isso indica que o limite existe e é igual a 0.
Resposta
O limite existe e é igual a 0.