Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
não existe
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para gente determinar o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso faz parte do estudo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos verificar se o limite existe analisando diferentes caminhos de aproximação para o ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que em funções de várias variáveis, o limite existe se o valor for o mesmo quando nos aproximamos do ponto de todas as direções possíveis. Uma boa maneira de testar isso é escolher caminhos diferentes e ver se o limite é o mesmo em todos eles.
Passo 3
Vamos começar com o caminho mais simples: aproximar-se de
ao longo do eixo
, ou seja, com
. Substituindo
na função:
Então, pelo eixo
, o limite é
.
Passo 4
Agora, vamos tentar um caminho diferente. Que tal aproximar-se ao longo da curva
? Substituindo
na função:
Aqui, o limite é
, que é diferente de
.
Passo 5
Como encontramos dois caminhos que dão resultados diferentes (
e
), isso significa que o limite não é o mesmo em todas as direções. Portanto, o limite não existe.
Resposta
O limite
não existe.
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Encontre o limite ou mostre que o limite não existe usando coordenadas polares:
Esboce o gráfico das funções abaixo:
(a)
(a)