Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (0,0) 6 x y^4x^2+y^8 não existe

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para gente determinar o limite da função 6 x y^4x^2+y^8 quando (x, y) se aproxima de (0,0). Isso faz parte do estudo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos verificar se o limite existe analisando diferentes caminhos de aproximação para o ponto (0,0).

Passo 2

Primeiro, vamos entender que em funções de várias variáveis, o limite existe se o valor for o mesmo quando nos aproximamos do ponto de todas as direções possíveis. Uma boa maneira de testar isso é escolher caminhos diferentes e ver se o limite é o mesmo em todos eles.

Passo 3

Vamos começar com o caminho mais simples: aproximar-se de (0,0) ao longo do eixo x, ou seja, com y = 0. Substituindo y = 0 na função:
6 x (0)^4x^2+0^8 = 0x^2 = 0
Então, pelo eixo x, o limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos tentar um caminho diferente. Que tal aproximar-se ao longo da curva y = x^1/4? Substituindo y = x^1/4 na função:
6 x (x^1/4)^4x^2+(x^1/4)^8 = 6 x cdot xx^2+x^2 = 6 x^22x^2 = 62 = 3
Aqui, o limite é 3, que é diferente de 0.

Passo 5

Como encontramos dois caminhos que dão resultados diferentes ( 0 e 3), isso significa que o limite não é o mesmo em todas as direções. Portanto, o limite não existe.

Resposta

O limite lim (x, y) (0,0) 6 x y^4x^2+y^8 não existe.

Exercícios relacionados

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (2,1) (x-2)^2 ln (y)(x-2)^2+(y-1)^2
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (0,0) x^3 sen(x yx^2-y^2)
Encontre o limite ou mostre que o limite não existe usando coordenadas polares:
lim (x, y) (0,0) tg(x^2-y^2x^2+y^2)
Esboce o gráfico das funções abaixo:
(a) -log_3(x+1)