Encontre o limite ou mostre que o limite não existe usando coordenadas polares:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando
se aproxima de
da função
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são muito úteis para lidar com limites em duas variáveis.
Passo 2
Em coordenadas polares, expressamos
e
em termos de
e
:
Aqui,
representa a distância até a origem (0,0) e
é o ângulo que o ponto faz com o eixo
.
Passo 3
Vamos substituir
e
na expressão
:
Usamos a identidade trigonométrica
.
Passo 4
Agora, substituímos
e
na expressão
:
Aqui, usamos a identidade
:
Passo 5
Agora, substituímos essas expressões na função original:
Os
se cancelam, deixando a função depender apenas de
.
Passo 6
Observamos que a expressão final,
, depende apenas do ângulo
e não de
. Isso significa que o valor do limite depende do caminho pelo qual
se aproxima de
, ou seja, depende do ângulo
.
Passo 7
Como o resultado varia com
, o limite não possui um valor único. Diferentes caminhos (diferentes valores de
) levarão a diferentes resultados para a função.
Resposta
O limite não existe.
Exercícios relacionados
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
não existe
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Esboce o gráfico das funções abaixo:
(a)
(a)
Nos exercícios a seguir, encontre o comprimento de arco da curva de
até
(e) ;
(e)