Encontre o limite ou mostre que o limite não existe usando coordenadas polares:
lim (x, y) (0,0) tg(x^2-y^2x^2+y^2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando (x, y) se aproxima de (0,0) da função tan(x^2 - y^2x^2 + y^2). Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são muito úteis para lidar com limites em duas variáveis.

Passo 2

Em coordenadas polares, expressamos x e y em termos de r e theta:
x = r costheta y = r sintheta
Aqui, r representa a distância até a origem (0,0) e theta é o ângulo que o ponto faz com o eixo x.

Passo 3

Vamos substituir x e y na expressão x^2 + y^2:
x^2 + y^2 = (r costheta)^2 + (r sintheta)^2 = r^2 cos^2theta + r^2 sin^2theta = r^2 (cos^2theta + sin^2theta) = r^2
Usamos a identidade trigonométrica cos^2theta + sin^2theta = 1.

Passo 4

Agora, substituímos x e y na expressão x^2 - y^2:
x^2 - y^2 = (r costheta)^2 - (r sintheta)^2 = r^2 cos^2theta - r^2 sin^2theta = r^2 (cos^2theta - sin^2theta)
Aqui, usamos a identidade cos^2theta - sin^2theta = cos(2theta):
x^2 - y^2 = r^2 cos(2theta)

Passo 5

Agora, substituímos essas expressões na função original:
tan(x^2 - y^2x^2 + y^2) = tan(r^2 cos(2theta)r^2) = tan(cos(2theta))
Os r^2 se cancelam, deixando a função depender apenas de theta.

Passo 6

Observamos que a expressão final, tan(cos(2theta)), depende apenas do ângulo theta e não de r. Isso significa que o valor do limite depende do caminho pelo qual (x, y) se aproxima de (0,0), ou seja, depende do ângulo theta.

Passo 7

Como o resultado varia com theta, o limite não possui um valor único. Diferentes caminhos (diferentes valores de theta) levarão a diferentes resultados para a função.

Resposta

O limite não existe.

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