Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (0,0) x^3 sen(x yx^2-y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim (x, y) (0,0) x^3 sin(x yx^2-y^2)
Esse problema está na área de cálculo multivariável, onde estudamos os limites de funções com mais de uma variável. Para resolver, a gente vai precisar entender como os limites funcionam em várias direções e usar propriedades da função seno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante da função seno: para qualquer número real , temos que . Isso é super útil porque nos dá um jeito de “controlar” a função seno.

Passo 3

Agora, vamos dar uma olhada na expressão que estamos limitando:
x^3 sin(x yx^2-y^2)
Usando a propriedade que | x^3 sin(x yx^2-y^2) | <= |x^3| cdot | sin(x yx^2-y^2) | <= |x^3| cdot 1 = |x^3| , podemos dizer que:

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece com limx to 0 |x^3| = 0 quando se aproxima de . Sabemos que tende a 0 conforme tende a 0. Ou seja:

Passo 5

Como mostramos que:
| x^3 sin(x yx^2-y^2) | <= |x^3| e limx to 0 |x^3| = 0
Pelo Teorema do Squeeze (ou Sandwich), podemos concluir que:
lim (x, y) (0,0) x^3 sin(x yx^2-y^2) = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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