Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
Esse problema está na área de cálculo multivariável, onde estudamos os limites de funções com mais de uma variável. Para resolver, a gente vai precisar entender como os limites funcionam em várias direções e usar propriedades da função seno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante da função seno: para qualquer número real , temos que . Isso é super útil porque nos dá um jeito de “controlar” a função seno.

Passo 3

Agora, vamos dar uma olhada na expressão que estamos limitando:
Usando a propriedade que , podemos dizer que:

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece com quando se aproxima de . Sabemos que tende a 0 conforme tende a 0. Ou seja:

Passo 5

Como mostramos que:
Pelo Teorema do Squeeze (ou Sandwich), podemos concluir que:

Resposta

O limite é igual a 0.

Exercícios relacionados

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Encontre as retas tangentes, horizontal e vertical, ao gráfico dado pelo para de equações paramétricas e faça um esboço do gráfico
(a)
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
não existe