Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para determinar o limite da função
quando os valores de
e
se aproximam de 0. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e expansões em série de funções trigonométricas, que nos ajudam a simplificar expressões complicadas quando as variáveis estão perto de um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento das funções trigonométricas quando seu argumento é próximo de zero. Sabemos que, para valores pequenos de
, podemos aproximar:
Essas aproximações são úteis porque simplificam as funções trigonométricas em termos de polinômios, facilitando o cálculo de limites.
Passo 3
Vamos aplicar essas aproximações na nossa expressão. Começamos com
:
Agora, vamos tratar de
. Primeiro, aproximamos
:
Então,
Passo 4
Agora, substituímos essas aproximações na expressão original do limite:
Simplificando o numerador:
Então, a expressão fica:
Resposta
O limite é
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Mostre, encontrando caminhos (que passem pelos pontos onde se avalia o limite), que os limites dados não existem:
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Discuta a continuidade das seguintes funções: