Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) cos (x y)-cos (sen(2 x y))x^2 y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para determinar o limite da função quando os valores de e se aproximam de 0. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e expansões em série de funções trigonométricas, que nos ajudam a simplificar expressões complicadas quando as variáveis estão perto de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento das funções trigonométricas quando seu argumento é próximo de zero. Sabemos que, para valores pequenos de cos(z) approx 1 - z^22 , podemos aproximar:
sin(z) approx z
Essas aproximações são úteis porque simplificam as funções trigonométricas em termos de polinômios, facilitando o cálculo de limites.

Passo 3

Vamos aplicar essas aproximações na nossa expressão. Começamos com cos(xy) approx 1 - (xy)^22 :
sin(2xy) approx 2xy
Agora, vamos tratar de cos(sin(2xy)) approx 1 - (2xy)^22 = 1 - 2x^2y^2 . Primeiro, aproximamos :
Então,

Passo 4

Agora, substituímos essas aproximações na expressão original do limite:
cos(xy) - cos(sin(2xy))x^2 y^2 approx (1 - (xy)^22) - (1 - 2x^2y^2)x^2 y^2
Simplificando o numerador:
1 - (xy)^22 - 1 + 2x^2y^2 = 3x^2y^22
Então, a expressão fica:
3x^2y^22x^2 y^2 = 32

Resposta

O limite é .

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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (2,1) arcsen(x y-2)arctan (3 x y-6).
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (5,6) (x-5)^2(y-6)^2(x-5)^2+(y-6)^4.
Mostre, encontrando caminhos (que passem pelos pontos onde se avalia o limite), que os limites dados não existem:
lim (x, y) (0,0) x yy-x^8.
Discuta a continuidade das seguintes funções:
f(x, y)=cc(x^2+y^2) ln (x^2+y^2) & se (x, y) neq(0,0) , 1 & se (x, y)=(0,0)