Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x, da região limitada pelas: e

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que a gente obtém ao girar ao redor do eixo x a região limitada pelas curvas e . Isso envolve cálculo de volumes por rotação, que faz parte do estudo de cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram. Isso é importante porque define os limites de integração. Para isso, igualamos :
Então, as curvas se interceptam nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos usar o método dos discos para calcular o volume. A ideia é integrar a área de discos infinitesimais ao longo do eixo x. A fórmula para o volume é:
Aqui, é a função de maior valor (no caso, ) e é a função de menor valor (no caso, ) entre e .

Passo 4

Vamos substituir na fórmula:
Agora, integramos termo a termo:
Então:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x, da região limitada pelas: e ;
Encontre a medida da área da região : limitada por e .
Encontre a equação cartesiana da curva .
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. .