Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x, da região limitada pelas:
e
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que a gente obtém ao girar ao redor do eixo x a região limitada pelas curvas
e
. Isso envolve cálculo de volumes por rotação, que faz parte do estudo de cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram. Isso é importante porque define os limites de integração. Para isso, igualamos
:
Então, as curvas se interceptam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora, vamos usar o método dos discos para calcular o volume. A ideia é integrar a área de discos infinitesimais ao longo do eixo x. A fórmula para o volume
é:
Aqui,
é a função de maior valor (no caso,
) e
é a função de menor valor (no caso,
) entre
e
.
Passo 4
Vamos substituir na fórmula:
Agora, integramos termo a termo:
Então:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x, da região limitada pelas:
e
;
Encontre a medida da área da região : limitada por
e
.
Encontre a equação cartesiana da curva
.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.