Use um computador para investigar a família de superfícies
Como a forma do gráfico depende dos números
e
?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos uma função que descreve uma superfície no espaço tridimensional:
O objetivo aqui é entender como os números
e
influenciam a forma desse gráfico. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre funções de duas variáveis e como os parâmetros afetam o gráfico delas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a estrutura da função. Ela é composta por duas partes:
-
: Essa parte é um polinômio quadrático em e . Os coeficientes e determinam a “força” dessa parte em cada direção. -
: Essa é uma função exponencial que decai rapidamente à medida que e se afastam do zero. Ela atua como um “fator de modulação” que diminui os valores da primeira parte conforme nos afastamos do centro.
Passo 3
Vamos analisar como
e
afetam a superfície:
- Coeficiente
: Controla a curvatura ao longo do eixo . Se aumenta, a contribuição de na altura aumenta, fazendo com que a superfície tenha uma curvatura mais acentuada nessa direção. - Coeficiente
: Controla a curvatura ao longo do eixo . Similar ao , se aumenta, a contribuição de na altura aumenta, afetando a curvatura na direção .
Passo 4
Agora, consideremos o efeito combinado dos dois coeficientes. Se
e
têm valores diferentes:
- Quando
: A superfície se curvará mais ao longo do eixo do que ao longo do eixo . Isso pode resultar em uma forma alongada ou achatada em uma direção específica. - Quando
: O contrário acontece; a curvatura será mais pronunciada ao longo do eixo . - Quando
: A superfície terá uma simetria radial, já que as curvaturas nas direções e são iguais.
Passo 5
Além disso, como a função exponencial
diminui rapidamente à medida que nos afastamos do centro, a influência de
e
é mais significativa perto da origem. Isso significa que diferenças nos valores de
e
vão modificar principalmente a “forma local” da superfície próxima ao centro.
Resposta
A forma do gráfico da superfície
depende dos valores de
e
da seguinte maneira:
- Valores maiores de
aumentam a curvatura na direção do eixo , fazendo a superfície se curvar mais verticalmente nessa direção. - Valores maiores de
aumentam a curvatura na direção do eixo , intensificando a curvatura nessa direção. - Se
e são iguais, a superfície apresenta simetria radial, com curvaturas iguais nas direções e . - Diferenças entre
e levam a formas alongadas ou achatadas em direções específicas, dependendo de qual coeficiente é maior.
Além disso, o fator exponencial faz com que essas influências sejam mais notáveis perto da origem, com a superfície decaindo rapidamente à medida que nos afastamos do centro.
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