Use um computador para investigar a família de superfícies
z = (a x^2 + b y^2) e^(-x^2 - y^2)
Como a forma do gráfico depende dos números a e b ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos uma função que descreve uma superfície no espaço tridimensional:
O objetivo aqui é entender como os números e influenciam a forma desse gráfico. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre funções de duas variáveis e como os parâmetros afetam o gráfico delas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a estrutura da função. Ela é composta por duas partes:
  1. : Essa parte é um polinômio quadrático em e . Os coeficientes e determinam a “força” dessa parte em cada direção.
  2. : Essa é uma função exponencial que decai rapidamente à medida que e se afastam do zero. Ela atua como um “fator de modulação” que diminui os valores da primeira parte conforme nos afastamos do centro.

Passo 3

Vamos analisar como e afetam a superfície:
  • Coeficiente : Controla a curvatura ao longo do eixo . Se aumenta, a contribuição de na altura aumenta, fazendo com que a superfície tenha uma curvatura mais acentuada nessa direção.
  • Coeficiente : Controla a curvatura ao longo do eixo . Similar ao , se aumenta, a contribuição de na altura aumenta, afetando a curvatura na direção .

Passo 4

Agora, consideremos o efeito combinado dos dois coeficientes. Se e têm valores diferentes:
  • Quando : A superfície se curvará mais ao longo do eixo do que ao longo do eixo . Isso pode resultar em uma forma alongada ou achatada em uma direção específica.
  • Quando : O contrário acontece; a curvatura será mais pronunciada ao longo do eixo .
  • Quando : A superfície terá uma simetria radial, já que as curvaturas nas direções e são iguais.

Passo 5

Além disso, como a função exponencial diminui rapidamente à medida que nos afastamos do centro, a influência de e é mais significativa perto da origem. Isso significa que diferenças nos valores de e vão modificar principalmente a “forma local” da superfície próxima ao centro.

Resposta

A forma do gráfico da superfície depende dos valores de e da seguinte maneira:
  • Valores maiores de aumentam a curvatura na direção do eixo , fazendo a superfície se curvar mais verticalmente nessa direção.
  • Valores maiores de aumentam a curvatura na direção do eixo , intensificando a curvatura nessa direção.
  • Se e são iguais, a superfície apresenta simetria radial, com curvaturas iguais nas direções e .
  • Diferenças entre e levam a formas alongadas ou achatadas em direções específicas, dependendo de qual coeficiente é maior.
    Além disso, o fator exponencial faz com que essas influências sejam mais notáveis perto da origem, com a superfície decaindo rapidamente à medida que nos afastamos do centro.

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