Utilize um gráfico feito por computador para explicar por que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis,
e
, quando elas se aproximam de
. A questão é sobre limites de funções de duas variáveis. Vamos precisar analisar como a função se comporta ao se aproximar do ponto
por diferentes caminhos usando gráficos feitos por computador.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos analisando:
Queremos descobrir:
A ideia aqui é verificar se esse limite existe ou não, observando se o valor do limite é o mesmo independente de como nos aproximamos de
.
Passo 3
Para isso, vamos usar gráficos feitos por computador. Vamos escolher diferentes caminhos que levam
a
e ver se o valor do limite depende do caminho escolhido.
Passo 4
Primeiro caminho: Vamos considerar
.
Substituindo na função:
Substituindo na função:
Então, pelo caminho
, o limite é
.
Passo 5
Segundo caminho: Vamos considerar
.
Substituindo na função:
Substituindo na função:
Pelo caminho
, o limite é
.
Passo 6
Terceiro caminho: Vamos considerar
.
Substituindo na função:
Substituindo na função:
Pelo caminho
, o limite é
.
Passo 7
Como vimos, dependendo do caminho que escolhemos para nos aproximar de
, o limite assume valores diferentes (
,
,
, etc.). Isso significa que o limite não é o mesmo em todos os caminhos.
Passo 8
Além disso, se fizermos um gráfico tridimensional da função
, observaríamos que a superfície não se aproxima de um único valor conforme nos movemos em diferentes direções para
. A variabilidade nos valores do limite ao escolher diferentes caminhos confirma que o limite não existe.
Resposta
O limite
não existe porque o valor do limite varia dependendo do caminho escolhido para se aproximar de
.
Exercícios relacionados
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Faça o gráfico da função
e
Em geral, se é uma função de uma variável, como obter o gráfico de
Em geral, se
a partir do gráfico de
?
Use um computador para investigar a família de superfícies
Como a forma do gráfico depende dos números
e
?
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.