Utilize um gráfico feito por computador para explicar por que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) 2 x^2+3 x y+4 y^23 x^2+5 y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis, e , quando elas se aproximam de . A questão é sobre limites de funções de duas variáveis. Vamos precisar analisar como a função se comporta ao se aproximar do ponto por diferentes caminhos usando gráficos feitos por computador.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos analisando:
f(x, y) = 2x^2 + 3xy + 4y^23x^2 + 5y^2
Queremos descobrir:
lim(x, y) (0,0) f(x, y)
A ideia aqui é verificar se esse limite existe ou não, observando se o valor do limite é o mesmo independente de como nos aproximamos de .

Passo 3

Para isso, vamos usar gráficos feitos por computador. Vamos escolher diferentes caminhos que levam a e ver se o valor do limite depende do caminho escolhido.

Passo 4

Primeiro caminho: Vamos considerar f(x, 0) = 2x^2 + 3x cdot 0 + 4 cdot 0^23x^2 + 5 cdot 0^2 = 2x^23x^2 = 23 .
Substituindo na função:
Então, pelo caminho , o limite é .

Passo 5

Segundo caminho: Vamos considerar f(x, x) = 2x^2 + 3x cdot x + 4x^23x^2 + 5x^2 = 2x^2 + 3x^2 + 4x^28x^2 = 9x^28x^2 = 98 .
Substituindo na função:
Pelo caminho , o limite é .

Passo 6

Terceiro caminho: Vamos considerar f(x, 2x) = 2x^2 + 3x cdot 2x + 4(2x)^23x^2 + 5(2x)^2 = 2x^2 + 6x^2 + 16x^23x^2 + 20x^2 = 24x^223x^2 = 2423 .
Substituindo na função:
Pelo caminho , o limite é .

Passo 7

Como vimos, dependendo do caminho que escolhemos para nos aproximar de , o limite assume valores diferentes ( , , , etc.). Isso significa que o limite não é o mesmo em todos os caminhos.

Passo 8

Além disso, se fizermos um gráfico tridimensional da função , observaríamos que a superfície não se aproxima de um único valor conforme nos movemos em diferentes direções para . A variabilidade nos valores do limite ao escolher diferentes caminhos confirma que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe porque o valor do limite varia dependendo do caminho escolhido para se aproximar de .

Exercícios relacionados

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x^2+sen^2 y2 x^2+y^2
Faça o gráfico da função
& f(x, y)=raizx^2+y^2 & f(x, y)=e^raizx^2+y^2 & f(x, y)=ln raizx^2+y^2 & f(x, y)=sen(raizx^2+y^2) & f(x, y)=1raizx^2+y^2
e
Em geral, se g(t) é uma função de uma variável, como obter o gráfico de
f(x, y)=g(raizx^2+y^2)
a partir do gráfico de g ?
Use um computador para investigar a família de superfícies
z = (a x^2 + b y^2) e^(-x^2 - y^2)
Como a forma do gráfico depende dos números a e b ?
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x^4-y^4x^2+y^2