Para as funções dadas a seguir, calcule as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y : f(x, y)=x yx^2+y^2+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcularmos as derivadas parciais e da função . Isso envolve usar regras de derivação para funções de duas variáveis, especificamente a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a , ou seja, . Para isso, usamos a regra do quociente, que diz que a derivada de é , onde e .

Passo 3

Calculando as derivadas necessárias:
  • Derivada de em relação a : (porque é tratado como constante).
  • Derivada de em relação a : .

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
partial fpartial x = v cdot u' - u cdot v'v^2 = (x^2 + y^2 + 1) cdot y - x y cdot 2x(x^2 + y^2 + 1)^2

Passo 5

Simplificando a expressão:
partial fpartial x = y x^2 + y^3 + y - 2x^2 y(x^2 + y^2 + 1)^2 = y (-x^2 + y^2 + 1)(x^2 + y^2 + 1)^2

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a , ou seja, . Usamos novamente a regra do quociente com e .

Passo 7

Calculando as derivadas necessárias:
  • Derivada de em relação a : (porque é tratado como constante).
  • Derivada de em relação a : .

Passo 8

Aplicando a regra do quociente:
partial fpartial y = v cdot u' - u cdot v'v^2 = (x^2 + y^2 + 1) cdot x - x y cdot 2y(x^2 + y^2 + 1)^2

Passo 9

Simplificando a expressão:
partial fpartial y = x x^2 + x y^2 + x - 2x y^2(x^2 + y^2 + 1)^2 = x (x^2 - y^2 + 1)(x^2 + y^2 + 1)^2

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x = y (-x^2 + y^2 + 1)(x^2 + y^2 + 1)^2
e
partial fpartial y = x (x^2 - y^2 + 1)(x^2 + y^2 + 1)^2

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