Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) x^2 y^2 z^2x^2+y^2+z^2

Passo 1

Vamos analisar o limite dado:
lim (x, y) x^2 y^2 z^2x^2+y^2+z^2
Aqui, estamos lidando com um limite de uma função de múltiplas variáveis. Precisamos determinar se esse limite existe e, se existir, qual é o seu valor. Para resolver isso, vamos verificar o comportamento da função à medida que se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, observamos que o numerador é uma expressão de grau 6, enquanto o denominador é de grau 2. Isso sugere que, à medida que se aproxima de , o numerador tende a zero mais rapidamente do que o denominador.

Passo 3

Para confirmar que o limite é zero, podemos avaliar a função ao longo de diferentes caminhos que levam a . Se o limite for o mesmo em todos os caminhos, podemos concluir que o limite geral é zero.

Passo 4

Vamos considerar o caminho onde x^2 x^2 x^2x^2+x^2+x^2 = x^63x^2 = x^43 . Substituindo na função, temos:
À medida que , .

Passo 5

Outro caminho interessante é 0^2 cdot 0^2 cdot z^20^2+0^2+z^2 = 0z^2 = 0 . Substituindo na função, temos:
Independentemente do valor de , o resultado é zero.

Passo 6

Podemos também considerar caminhos mais gerais, por exemplo, (at)^2 (bt)^2 (ct)^2(at)^2+(bt)^2+(ct)^2 = a^2b^2c^2 t^6a^2t^2+b^2t^2+c^2t^2 = a^2b^2c^2 t^6t^2(a^2+b^2+c^2) = a^2b^2c^2 t^4a^2+b^2+c^2 , , , onde , , e são constantes e . Substituindo, temos:
À medida que , .

Passo 7

Como em todos os caminhos que testamos o limite resultou em zero e não encontramos nenhum caminho que leve a um valor diferente, podemos concluir que o limite geral é zero.

Resposta

O limite é zero.

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