Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

Passo 1

Vamos analisar o limite dado:
Aqui, estamos lidando com um limite de uma função de múltiplas variáveis. Precisamos determinar se esse limite existe e, se existir, qual é o seu valor. Para resolver isso, vamos verificar o comportamento da função à medida que se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, observamos que o numerador é uma expressão de grau 6, enquanto o denominador é de grau 2. Isso sugere que, à medida que se aproxima de , o numerador tende a zero mais rapidamente do que o denominador.

Passo 3

Para confirmar que o limite é zero, podemos avaliar a função ao longo de diferentes caminhos que levam a . Se o limite for o mesmo em todos os caminhos, podemos concluir que o limite geral é zero.

Passo 4

Vamos considerar o caminho onde . Substituindo na função, temos:
À medida que , .

Passo 5

Outro caminho interessante é . Substituindo na função, temos:
Independentemente do valor de , o resultado é zero.

Passo 6

Podemos também considerar caminhos mais gerais, por exemplo, , , , onde , , e são constantes e . Substituindo, temos:
À medida que , .

Passo 7

Como em todos os caminhos que testamos o limite resultou em zero e não encontramos nenhum caminho que leve a um valor diferente, podemos concluir que o limite geral é zero.

Resposta

O limite é zero.

Exercícios relacionados

Se e . Determinor .
Exercício 1.1 Utilize as propriedades acima para calcular os seguintes limites:
f)
Exercício 1.1 Utilize as propriedades acima para calcular os seguintes limites:
b)
Exercício 1.1 Utilize as propriedades acima para calcular os seguintes limites:
e)