Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Vamos analisar o limite dado:
Aqui, estamos lidando com um limite de uma função de múltiplas variáveis. Precisamos determinar se esse limite existe e, se existir, qual é o seu valor. Para resolver isso, vamos verificar o comportamento da função à medida que
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, observamos que o numerador
é uma expressão de grau 6, enquanto o denominador
é de grau 2. Isso sugere que, à medida que
se aproxima de
, o numerador tende a zero mais rapidamente do que o denominador.
Passo 3
Para confirmar que o limite é zero, podemos avaliar a função ao longo de diferentes caminhos que levam
a
. Se o limite for o mesmo em todos os caminhos, podemos concluir que o limite geral é zero.
Passo 4
Vamos considerar o caminho onde
. Substituindo na função, temos:
À medida que
,
.
Passo 5
Outro caminho interessante é
. Substituindo na função, temos:
Independentemente do valor de
, o resultado é zero.
Passo 6
Podemos também considerar caminhos mais gerais, por exemplo,
,
,
, onde
,
, e
são constantes e
. Substituindo, temos:
À medida que
, .
Passo 7
Como em todos os caminhos que testamos o limite resultou em zero e não encontramos nenhum caminho que leve a um valor diferente, podemos concluir que o limite geral é zero.
Resposta
O limite é zero.
Exercícios relacionados
Se
e
. Determinor
.
Exercício 1.1 Utilize as propriedades acima para calcular os seguintes limites:
f)
f)
Exercício 1.1 Utilize as propriedades acima para calcular os seguintes limites:
b)
b)
Exercício 1.1 Utilize as propriedades acima para calcular os seguintes limites:
e)
e)