Exercício 1.1 Utilize as propriedades acima para calcular os seguintes limites:
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício é de cálculo de limites, especificamente lidando com funções envolvendo logaritmos naturais. Para resolver, vamos precisar entender como o logaritmo se comporta quando
cresce indefinidamente e comparar isso com o crescimento de
no denominador.
Passo 2
Primeiro, observe que
cresce sem limites conforme
aumenta, mas ele cresce de forma mais lenta comparado a funções polinomiais como
. Quando temos
, estamos elevando o logaritmo ao quadrado, mas isso ainda não muda a taxa de crescimento de forma significativa em comparação com
.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento do quociente
quando
tende ao infinito. Como o numerador
cresce mais lentamente que o denominador
, intuitivamente, o quociente todo deve tender a zero. Para confirmar isso matematicamente, podemos usar a regra de L’Hôpital, que é aplicável quando temos formas indeterminadas como
.
Passo 4
Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em rela��ão a
:
Agora, aplicamos o limite às derivadas:
Sabemos que
, porque
cresce muito mais rápido que
.
Passo 5
Assim, temos:
Portanto, o limite original também é zero.