Exercício 1.1 Utilize as propriedades acima para calcular os seguintes limites:
e) lim n +infty (ln n)^2n

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício é de cálculo de limites, especificamente lidando com funções envolvendo logaritmos naturais. Para resolver, vamos precisar entender como o logaritmo se comporta quando cresce indefinidamente e comparar isso com o crescimento de no denominador.

Passo 2

Primeiro, observe que cresce sem limites conforme aumenta, mas ele cresce de forma mais lenta comparado a funções polinomiais como . Quando temos , estamos elevando o logaritmo ao quadrado, mas isso ainda não muda a taxa de crescimento de forma significativa em comparação com .

Passo 3

Vamos analisar o comportamento do quociente quando tende ao infinito. Como o numerador cresce mais lentamente que o denominador , intuitivamente, o quociente todo deve tender a zero. Para confirmar isso matematicamente, podemos usar a regra de L’Hôpital, que é aplicável quando temos formas indeterminadas como .

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em rela��ão a Derivada do numerador: ddn (ln n)^2 = 2 ln n cdot 1n = 2 ln nn :
Derivada do denominador: ddn n = 1
lim n +infty 2 ln nn = 2 cdot lim n +infty ln nn
Agora, aplicamos o limite às derivadas:
Sabemos que , porque cresce muito mais rápido que .

Passo 5

Assim, temos:
2 cdot 0 = 0
Portanto, o limite original também é zero.

Resposta

lim n +infty (ln n)^2n = 0

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