Exercício 1.1 Utilize as propriedades acima para calcular os seguintes limites:
f) lim n +infty[raizn+1-raizn]

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos lidando com limites de sequências que envolvem radicais. Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades de limites e manipulações algébricas para simplificar a expressão e encontrar o valor ao qual ela converge quando vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão raizn+1 - raizn = (raizn+1 - raizn)(raizn+1 + raizn)raizn+1 + raizn . Para facilitar, podemos fazer uma multiplicação por um “termo conjugado”. O termo conjugado aqui é . Multiplicamos o numerador e o denominador por esse termo para eliminar os radicais no numerador.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar os termos no numerador usando a fórmula (raizn+1)^2 - (raizn)^2 = (n + 1) - n = 1 :
1raizn+1 + raizn
Então, a expressão simplificada fica:

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento do denominador quando 1raizn+1 + raizn approx 12raizn tende para o infinito. Tanto quanto crescem sem limites, mas a diferença entre elas diminui. À medida que fica muito grande, , então podemos aproximar o denominador por .

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite dessa aproximação:
limn +infty 12raizn = 12 limn +infty 1raizn = 12 times 0 = 0
Isso ocorre porque cresce sem limites, então tende a zero.

Resposta

O limite .

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