Verifique a convergência das séries usando os testes da série alternada, teste da razão e teste da raiz:
sumn=1^infty(-1)^n n^3e^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série converge ou não. Para isso, vamos usar três testes diferentes: o teste da série alternada, o teste da razão e o teste da raiz. Vamos precisar entender um pouco sobre cada um desses testes para aplicar na nossa série.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste é usado para séries que têm termos que alternam sinais, como é o caso da nossa série por causa do .
Como funciona o teste:
Para que a série alternada convirja, dois critérios devem ser atendidos:
  1. Os termos devem ser decrescentes: para todo grande o suficiente.
  2. O limite dos termos deve ser zero: .
No nosso caso, .
Vamos verificar esses critérios:
  1. Decrescimento dos termos: Conforme aumenta, cresce muito mais rápido que , então está diminuindo.
  2. Limite dos termos: porque a exponencial cresce mais rápido que qualquer polinômio.
Como os dois critérios são satisfeitos, pelo Teste da Série Alternada, a série converge.

Passo 3

Agora, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste envolve calcular o limite | an+1an | = (n+1)^3e^n+1 cdot e^nn^3 = (n+1)^3n^3 cdot 1e . Se esse limite for menor que 1, a série converge absolutamente; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste não é conclusivo.
Para a nossa série, = (1 + 1n)^3 cdot 1e .
Calculando a razão:
limn to infty (1 + 1n)^3 = 1
limn to infty | an+1an | = 1e approx 0.3679 < 1
Agora, tomando o limite quando tende ao infinito:
Então,
Como o limite é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série converge absolutamente.

Passo 4

Por último, vamos aplicar o Teste da Raiz. Esse teste envolve calcular o limite raiz[n]|an| = raiz[n]n^3e^n = raiz[n]n^3raiz[n]e^n = n^3/ne . Se esse limite for menor que 1, a série converge absolutamente; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste não é conclusivo.
Para a nossa série, limn to infty n^3/n = limn to infty e^3 ln nn = e^0 = 1 .
Calculando a raiz enésima:
limn to infty raiz[n]|an| = 1e approx 0.3679 < 1
Agora, tomando o limite quando tende ao infinito:
Então,
Como o limite é menor que 1, pelo Teste da Raiz, a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente, conforme confirmado pelos testes da série alternada, da razão e da raiz.

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