Verifique a convergência das séries usando os testes da série alternada, teste da razão e teste da raiz:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série converge ou não. Para isso, vamos usar três testes diferentes: o teste da série alternada, o teste da razão e o teste da raiz. Vamos precisar entender um pouco sobre cada um desses testes para aplicar na nossa série.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste é usado para séries que têm termos que alternam sinais, como é o caso da nossa série por causa do .
Como funciona o teste:
Para que a série alternada convirja, dois critérios devem ser atendidos:
Os termos devem ser decrescentes: para todo grande o suficiente.
O limite dos termos deve ser zero: .
No nosso caso, .
Vamos verificar esses critérios:
Decrescimento dos termos: Conforme aumenta, cresce muito mais rápido que , então está diminuindo.
Limite dos termos: porque a exponencial cresce mais rápido que qualquer polinômio.
Como os dois critérios são satisfeitos, pelo Teste da Série Alternada, a série converge.
Passo 3
Agora, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste envolve calcular o limite . Se esse limite for menor que 1, a série converge absolutamente; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste não é conclusivo.
Para a nossa série, .
Calculando a razão:
Agora, tomando o limite quando tende ao infinito:
Então,
Como o limite é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série converge absolutamente.
Passo 4
Por último, vamos aplicar o Teste da Raiz. Esse teste envolve calcular o limite . Se esse limite for menor que 1, a série converge absolutamente; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste não é conclusivo.
Para a nossa série, .
Calculando a raiz enésima:
Agora, tomando o limite quando tende ao infinito:
Então,
Como o limite é menor que 1, pelo Teste da Raiz, a série converge absolutamente.
Resposta
A série converge absolutamente, conforme confirmado pelos testes da série alternada, da razão e da raiz.