Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Multivariável, especificamente sobre limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar substituir os valores de
e
próximos de 1 e simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da função quando
e
se aproximam de 1. Substituindo
e
na expressão, temos:
Então, quando
e
, a função vale 0.
Passo 3
Agora, vamos verificar se esse resultado é válido para valores de
e
que se aproximam de 1 de diferentes maneiras. Isso é importante porque, em funções de duas variáveis, o limite pode depender do caminho pelo qual
se aproxima do ponto
.
Vamos reescrever a função para facilitar a análise:
Aqui, fizemos uma simplificação agrupando termos semelhantes. Agora, vamos ver o que acontece quando
se aproxima de 1, mantendo
:
À medida que
se aproxima de 1,
se aproxima de 0. Portanto, tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de 0 e 1, respectivamente. Isso indica que o limite é 0.
Passo 4
Para confirmar que o limite é realmente 0, vamos considerar diferentes caminhos de aproximação:
- Caminho
:
- Caminho
:
Já vimos que o limite é 0.
- Caminho
:
Substituindo
:
Quando
:
Em todos os caminhos testados, o limite é 0. Isso sugere que o limite geral também é 0.
Resposta
O limite
existe e é igual a 0.