Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (1, y) (1.1) x y-xx^2+y^2-2 y+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular o limite da função quando se aproxima de . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Multivariável, especificamente sobre limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar substituir os valores de e próximos de 1 e simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da função quando 1 cdot 1 - 11^2 + 1^2 - 2 cdot 1 + 1 = 1 - 11 + 1 - 2 + 1 = 01 = 0 e se aproximam de 1. Substituindo e na expressão, temos:
Então, quando e , a função vale 0.

Passo 3

Agora, vamos verificar se esse resultado é válido para valores de xy - xx^2 + y^2 - 2y + 1 = x(y - 1)x^2 + (y - 1)^2 e 1 cdot (y - 1)1^2 + (y - 1)^2 = y - 11 + (y - 1)^2 que se aproximam de 1 de diferentes maneiras. Isso é importante porque, em funções de duas variáveis, o limite pode depender do caminho pelo qual se aproxima do ponto .
Vamos reescrever a função para facilitar a análise:
Aqui, fizemos uma simplificação agrupando termos semelhantes. Agora, vamos ver o que acontece quando se aproxima de 1, mantendo :
À medida que se aproxima de 1, se aproxima de 0. Portanto, tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de 0 e 1, respectivamente. Isso indica que o limite é 0.

Passo 4

Para confirmar que o limite é realmente 0, vamos considerar diferentes caminhos de aproximação:
  1. Caminho x(1 - 1)x^2 + (1 - 1)^2 = 0x^2 = 0 :
x(x - 1)x^2 + (x - 1)^2 = x(x - 1)x^2 + x^2 - 2x + 1 = x(x - 1)2x^2 - 2x + 1
  1. Caminho 1(1 - 1)2(1)^2 - 2(1) + 1 = 02 - 2 + 1 = 0 :
Já vimos que o limite é 0.
  1. Caminho :
Substituindo :
Quando :
Em todos os caminhos testados, o limite é 0. Isso sugere que o limite geral também é 0.

Resposta

O limite existe e é igual a 0.

Exercícios relacionados