Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o limite da função
quando
se aproxima de
. A gente vai usar conceitos de limites em funções de várias variáveis para resolver isso. Precisamos verificar o comportamento da função conforme
se aproxima do ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece com o numerador e o denominador da função quando
se aproxima de
.
-
Numerador:
. Quando e vão para 0, também vai para 0, então o numerador se aproxima de . -
Denominador:
. Aqui, e também vão para 0 quando e vão para 0, então o denominador se aproxima de .
Passo 3
Agora, vamos analisar a função inteira:
Como vimos:
- Numerador
- Denominador
Portanto, a função se aproxima de:
Passo 4
Para ter certeza de que o limite é realmente 1, podemos verificar se esse valor é o mesmo ao nos aproximarmos do ponto
por diferentes caminhos. Por exemplo:
-
Caminho 1:
-
Caminho 2:
-
Caminho 3:
Em todos os caminhos testados, o limite é 1, indicando que o limite geral também é 1.
Resposta
O limite da função
quando
se aproxima de
é 1.
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