Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim (x, y) (0,0) x y+1x^2+y^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o limite da função quando se aproxima de . A gente vai usar conceitos de limites em funções de várias variáveis para resolver isso. Precisamos verificar o comportamento da função conforme se aproxima do ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com o numerador e o denominador da função quando se aproxima de .
  • Numerador: . Quando e vão para 0, também vai para 0, então o numerador se aproxima de .
  • Denominador: . Aqui, e também vão para 0 quando e vão para 0, então o denominador se aproxima de .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função inteira:
xy + 1x^2 + y^2 + 1
Como vimos:
  • Numerador 11 = 1
  • Denominador
Portanto, a função se aproxima de:

Passo 4

Para ter certeza de que o limite é realmente 1, podemos verificar se esse valor é o mesmo ao nos aproximarmos do ponto x cdot 0 + 1x^2 + 0^2 + 1 = 1x^2 + 1 10 + 1 = 1 por diferentes caminhos. Por exemplo:
  • Caminho 1: 0 cdot y + 10^2 + y^2 + 1 = 1y^2 + 1 10 + 1 = 1
    x cdot x + 1x^2 + x^2 + 1 = x^2 + 12x^2 + 1 0 + 10 + 1 = 1
  • Caminho 2:
  • Caminho 3:
Em todos os caminhos testados, o limite é 1, indicando que o limite geral também é 1.

Resposta

O limite da função quando se aproxima de é 1.

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