Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
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Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido na questão. Precisamos determinar o limite da função
quando os pontos
se aproximam de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em duas variáveis e verificar se o limite existe ou não analisando diferentes caminhos de aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo do caminho onde
. Isso significa que estamos aproximando o ponto
movendo-se ao longo do eixo x.
Substituindo
na função:
Portanto, ao longo do caminho
, o limite é 0.
Passo 3
Agora, vamos escolher outro caminho de aproximação, por exemplo,
, onde
é uma constante qualquer. Isso representa uma reta que passa por
com inclinação
.
Substituindo
na função:
Aqui, percebemos que o limite depende do valor de
. Por exemplo:
- Se
, obtemos o limite 0. - Se
, obtemos o limite . - Se
, obtemos o limite .
Passo 4
Como diferentes caminhos de aproximação levam a diferentes valores de limite, concluímos que o limite da função quando
não existe.
Resposta
O limite não existe.
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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
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Esboce o gráfico das funções abaixo (onde
):
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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
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