Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (2,0) (x-2) y(x-2)^2+y^2.

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido na questão. Precisamos determinar o limite da função (x-2) y(x-2)^2+y^2 quando os pontos (x, y) se aproximam de (2, 0). Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em duas variáveis e verificar se o limite existe ou não analisando diferentes caminhos de aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo do caminho onde y = 0. Isso significa que estamos aproximando o ponto (2, 0) movendo-se ao longo do eixo x.
Substituindo y = 0 na função:
f(x, 0) = (x-2) cdot 0(x-2)^2 + 0^2 = 0
Portanto, ao longo do caminho y = 0, o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos escolher outro caminho de aproximação, por exemplo, y = k(x - 2), onde k é uma constante qualquer. Isso representa uma reta que passa por (2, 0) com inclinação k.
Substituindo y = k(x - 2) na função:
f(x, k(x-2)) = (x-2) cdot k(x-2)(x-2)^2 + [k(x-2)]^2 = k(x-2)^2(1 + k^2)(x-2)^2 = k1 + k^2
Aqui, percebemos que o limite depende do valor de k. Por exemplo:
  • Se k = 0, obtemos o limite 0.
  • Se k = 1, obtemos o limite 12.
  • Se k = 2, obtemos o limite 25.

Passo 4

Como diferentes caminhos de aproximação levam a diferentes valores de limite, concluímos que o limite da função quando (x, y) (2, 0) não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x e^2 y-xy sen(x).
Esboce o gráfico das funções abaixo (onde z = f(x, y) ):
z = raiz(16 - 4 x^2).
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (-1,2) x+1x^2+y^2-5.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) sen(x^2+y^2)1-cos (raizx^2+y^2).