Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o limite da função quando
se aproxima de
. Vamos usar conceitos de limites em cálculo multivariado e algumas propriedades das funções trigonométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, pra simplificar a coisa toda, vamos trocar as coordenadas cartesianas
por coordenadas polares
, onde
. Assim, quando
se aproxima de
, isso equivale a
se aproximando de 0. A função fica assim:
Passo 3
Agora, vamos lembrar de algumas aproximações para funções trigonométricas quando o ângulo é pequeno, tipo quando
está perto de 0:
- (porque quando
é pequeno) -
(pois quando é pequeno)
Passo 4
Substituindo essas aproximações na nossa função, temos:
Como
está se aproximando de 0, os termos de ordem superior que descartamos não vão influenciar o resultado final.
Resposta
O limite é igual a 2.
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Mostre, encontrando caminhos (que passem pelos pontos onde se avalia o limite), que os limites dados não existem:
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