Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) sen(x^2+y^2)1-cos (raizx^2+y^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o limite da função quando se aproxima de . Vamos usar conceitos de limites em cálculo multivariado e algumas propriedades das funções trigonométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, pra simplificar a coisa toda, vamos trocar as coordenadas cartesianas sen(r^2)1 - cos(r) por coordenadas polares , onde . Assim, quando se aproxima de , isso equivale a se aproximando de 0. A função fica assim:

Passo 3

Agora, vamos lembrar de algumas aproximações para funções trigonométricas quando o ângulo é pequeno, tipo quando está perto de 0:
  • (porque quando é pequeno)
  • (pois quando é pequeno)

Passo 4

Substituindo essas aproximações na nossa função, temos:
r^2r^22 = r^2 times 2r^2 = 2
Como está se aproximando de 0, os termos de ordem superior que descartamos não vão influenciar o resultado final.

Resposta

O limite é igual a 2.

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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (-1,2) x+1x^2+y^2-5.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (2,0) (x-2) y(x-2)^2+y^2.
Mostre, encontrando caminhos (que passem pelos pontos onde se avalia o limite), que os limites dados não existem:
lim (x, y) (2,3) (x-2)^2(y-3)(x-2)^4+(y-3)^2.
Mostre, encontrando caminhos (que passem pelos pontos onde se avalia o limite), que os limites dados não existem:
lim (x, y) (0,2) e^x+y-2+1-yx y.