Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x e^2 y-xy sen(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis, e , enquanto elas se aproximam de . O conteúdo aqui é de cálculo de limites multivariáveis. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de exponenciais e funções trigonométricas, além de algumas aproximações básicas para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, olha só a expressão que temos:
lim (x, y) (0,0) x e^2 y - xy sin(x)
Vamos simplificar o numerador:
x e^2y - x = x(e^2y - 1)
Então, a expressão do limite fica:
lim (x, y) (0,0) x(e^2y - 1)y sin(x)

Passo 3

Agora, para valores de e^2y approx 1 + 2y próximos de 0, podemos usar a aproximação da função exponencial:
e^2y - 1 approx 2y
Então,
x(e^2y - 1) approx x cdot 2y = 2xy
Substituindo na expressão do numerador:

Passo 4

No denominador, temos sin(x) approx x . Para valores de y sin(x) approx y cdot x = xy próximos de 0, sabemos que:
Portanto, o denominador fica:

Passo 5

Agora, substituindo as aproximações no limite:
lim (x, y) (0,0) 2xyxy = lim (x, y) (0,0) 2 = 2

Resposta

O limite é igual a 2.

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico das funções abaixo (onde z = f(x, y) ):
z = raiz(16 - 4 x^2).
Faça um esboço do cilindro da equação dada:
z = |y|, x in R.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (2,0) (x-2) y(x-2)^2+y^2.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (-1,2) x+1x^2+y^2-5.