Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis,
e
, enquanto elas se aproximam de
. O conteúdo aqui é de cálculo de limites multivariáveis. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de exponenciais e funções trigonométricas, além de algumas aproximações básicas para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, olha só a expressão que temos:
Vamos simplificar o numerador:
Então, a expressão do limite fica:
Passo 3
Agora, para valores de
próximos de 0, podemos usar a aproximação da função exponencial:
Então,
Substituindo na expressão do numerador:
Passo 4
No denominador, temos
. Para valores de
próximos de 0, sabemos que:
Portanto, o denominador fica:
Passo 5
Agora, substituindo as aproximações no limite:
Resposta
O limite é igual a 2.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico das funções abaixo (onde
):
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Faça um esboço do cilindro da equação dada:
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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
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