Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
Passo 1
Vamos determinar o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso envolve conceitos de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos analisar diferentes caminhos de aproximação para ver se o limite é o mesmo em todos eles.
Passo 2
Primeiro, consideremos o caminho onde
e
se aproxima de
.
Substituindo
na função:
Podemos fatorar o denominador:
Assim, a expressão fica:
Agora, substituindo
:
Então, ao seguir o caminho
, o limite é
.
Passo 3
Agora, vamos considerar o caminho onde
e
se aproxima de
.
Substituindo
na função:
Aqui, a expressão simplifica para:
Portanto, ao seguir o caminho
, o limite é
.
Resposta
Como obtivemos limites diferentes (
e
) ao longo de caminhos distintos, concluímos que o limite não existe.
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Mostre, encontrando caminhos (que passem pelos pontos onde se avalia o limite), que os limites dados não existem:
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