Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (-1,2) x+1x^2+y^2-5.

Passo 1

Vamos determinar o limite da função quando se aproxima de . Isso envolve conceitos de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos analisar diferentes caminhos de aproximação para ver se o limite é o mesmo em todos eles.

Passo 2

Primeiro, consideremos o caminho onde limx to -1 x + 1x^2 + 2^2 - 5 = limx to -1 x + 1x^2 + 4 - 5 = limx to -1 x + 1x^2 - 1 e x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) se aproxima de limx to -1 x + 1(x - 1)(x + 1) = limx to -1 1x - 1 .
Substituindo 1-1 - 1 = 1-2 = -12 na função:
Podemos fatorar o denominador:
Assim, a expressão fica:
Agora, substituindo :
Então, ao seguir o caminho , o limite é .

Passo 3

Agora, vamos considerar o caminho onde limy to 2 -1 + 1(-1)^2 + y^2 - 5 = limy to 2 01 + y^2 - 5 = limy to 2 0y^2 - 4 e 0y^2 - 4 = 0 se aproxima de .
Substituindo na função:
Aqui, a expressão simplifica para:
Portanto, ao seguir o caminho , o limite é .

Resposta

Como obtivemos limites diferentes ( e ) ao longo de caminhos distintos, concluímos que o limite não existe.

Exercícios relacionados

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (2,0) (x-2) y(x-2)^2+y^2.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x e^2 y-xy sen(x).
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) sen(x^2+y^2)1-cos (raizx^2+y^2).
Mostre, encontrando caminhos (que passem pelos pontos onde se avalia o limite), que os limites dados não existem:
lim (x, y) (2,3) (x-2)^2(y-3)(x-2)^4+(y-3)^2.