Determine e represente graficamente o domínio da função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio da função . Isso significa que vamos encontrar todos os pares onde a função está bem definida. Para isso, vamos precisar compreender um pouquinho sobre funções logarítmicas e frações.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o numerador da função, que é . O logaritmo natural só é definido quando o argumento é positivo. Então, temos que:
Resolvendo isso, encontramos:
Isso significa que o valor de tem que ser maior que 2 para o logaritmo existir.
Passo 3
Agora, vamos analisar o denominador da função, que é . A gente sabe que não pode dividir por zero, então o denominador também não pode ser igual a zero:
Isso pode ser reescrito como:
Ou seja, os pontos que estão na circunferência de raio 1 centrada na origem estão fora do domínio.
Passo 4
Então, juntando as duas condições que encontramos:
O domínio da função é o conjunto de todos os pontos onde é maior que 2 e não está no círculo de raio 1.
Passo 5
Para representar graficamente esse domínio, vamos imaginar o plano :
A condição corresponde a toda a região à direita da reta vertical .
A condição exclui apenas o círculo de raio 1 centrado na origem.
Então, visualmente, o domínio é a região à direita de sem o círculo de raio 1.
Resposta
O domínio da função é o conjunto de todos os pares onde e . Graficamente, corresponde à região à direita da reta excluindo o círculo de raio 1 centrado na origem.