Determine e represente graficamente o domínio da função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio da função
. Isso significa que vamos encontrar todos os pares
onde a função está bem definida. Para isso, vamos precisar compreender um pouquinho sobre funções logarítmicas e frações.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o numerador da função, que é
. O logaritmo natural
só é definido quando o argumento
é positivo. Então, temos que:
Resolvendo isso, encontramos:
Isso significa que o valor de
tem que ser maior que 2 para o logaritmo existir.
Passo 3
Agora, vamos analisar o denominador da função, que é
. A gente sabe que não pode dividir por zero, então o denominador também não pode ser igual a zero:
Isso pode ser reescrito como:
Ou seja, os pontos
que estão na circunferência de raio 1 centrada na origem estão fora do domínio.
Passo 4
Então, juntando as duas condições que encontramos:
O domínio da função é o conjunto de todos os pontos
onde
é maior que 2 e
não está no círculo de raio 1.
Passo 5
Para representar graficamente esse domínio, vamos imaginar o plano
:
- A condição
corresponde a toda a região à direita da reta vertical . - A condição
exclui apenas o círculo de raio 1 centrado na origem.
Então, visualmente, o domínio é a região à direita de
sem o círculo de raio 1.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pares
onde
e
. Graficamente, corresponde à região à direita da reta
excluindo o círculo de raio 1 centrado na origem.