Determine e represente graficamente o domínio da função:
f(x, y) = ln(x - 2) / (1 - x^2 - y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio da função . Isso significa que vamos encontrar todos os pares onde a função está bem definida. Para isso, vamos precisar compreender um pouquinho sobre funções logarítmicas e frações.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador da função, que é . O logaritmo natural só é definido quando o argumento é positivo. Então, temos que:
Resolvendo isso, encontramos:
Isso significa que o valor de tem que ser maior que 2 para o logaritmo existir.

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador da função, que é . A gente sabe que não pode dividir por zero, então o denominador também não pode ser igual a zero:
Isso pode ser reescrito como:
Ou seja, os pontos que estão na circunferência de raio 1 centrada na origem estão fora do domínio.

Passo 4

Então, juntando as duas condições que encontramos:
O domínio da função é o conjunto de todos os pontos onde é maior que 2 e não está no círculo de raio 1.

Passo 5

Para representar graficamente esse domínio, vamos imaginar o plano :
  • A condição corresponde a toda a região à direita da reta vertical .
  • A condição exclui apenas o círculo de raio 1 centrado na origem.
Então, visualmente, o domínio é a região à direita de sem o círculo de raio 1.

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pares onde e . Graficamente, corresponde à região à direita da reta excluindo o círculo de raio 1 centrado na origem.

Exercícios relacionados

Resolva, pelo método dos coeficientes a determinar, o problema de valor inicial:
2 y'' + 4 y' + 2 y = 5 e^(-x) ; y(0) = -1 ; y'(0) = 0
Seja z = x^2 y, calcule:
(b) Utilizando a diferencial, calcule um valor aproximado para a variação Delta z em z, quando se passa de x=1, y=2 para x = 1,02 e y = 2,01
Determine e represente graficamente o domínio da função:
z = ln(x^2 * y^2)
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (2,0) (x-2) y^2(x-2)^2+y^2