Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite năo existe.
lim is m^2 0.0 6 x^3 y2 x^2+y^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar o limite da função quando se aproxima de . Isso está dentro do conteúdo de limites de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo do eixo 6x^3(0)2x^2 + (0)^4 = 02x^2 = 0 , ou seja, definindo . Substituindo na função:
Então, ao longo do eixo , o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos tentar ao longo do eixo 6(0)^3y2(0)^2 + y^4 = 0y^4 = 0 , definindo . Substituindo na função:
Então, ao longo do eixo , o limite também é 0.

Passo 4

Embora os limites ao longo dos eixos sejam iguais, isso não garante que o limite geral exista. Precisamos verificar outros caminhos. Vamos tentar um caminho onde 6x^3(x)2x^2 + x^4 = 6x^42x^2 + x^4 = 6x^4x^2(2 + x^2) = 6x^22 + x^2 , onde limx to 0 6x^22 + x^2 = 02 = 0 e são constantes que escolhemos para ver se obtemos diferentes resultados.
Vamos escolher . Substituindo na função:
Agora, calculando o limite quando :
Parece que ainda estamos obtendo 0.

Passo 5

Vamos tentar um caminho diferente, por exemplo, 6x^3(x^0.5)2x^2 + (x^0.5)^4 = 6x^3.52x^2 + x^2 = 6x^3.53x^2 = 2x^1.5 . Substituindo na função:
limx to 0 2x^1.5 = 0
Agora, calculando o limite quando :
Ainda estamos vendo 0. Vamos tentar um caminho onde com outro valor de .

Passo 6

Vamos escolher 6x^3(x^0.25)2x^2 + (x^0.25)^4 = 6x^3.252x^2 + x = 6x^3.25x(2x + 1) = 6x^2.252x + 1 . Substituindo na função:
limx to 0 6x^2.252x + 1 = 01 = 0
Calculando o limite quando :
Ainda estamos obtendo 0.

Passo 7

Até agora, todas as tentativas de diferentes caminhos nos deram o limite igual a 0. Embora não seja uma prova completa, com base nessas análises, podemos conjecturar que o limite é 0.

Resposta

O limite existe e é igual a 0.

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