Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite năo existe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar o limite da função quando se aproxima de . Isso está dentro do conteúdo de limites de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo do eixo , ou seja, definindo . Substituindo na função:
Então, ao longo do eixo , o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos tentar ao longo do eixo , definindo . Substituindo na função:
Então, ao longo do eixo , o limite também é 0.

Passo 4

Embora os limites ao longo dos eixos sejam iguais, isso não garante que o limite geral exista. Precisamos verificar outros caminhos. Vamos tentar um caminho onde , onde e são constantes que escolhemos para ver se obtemos diferentes resultados.
Vamos escolher . Substituindo na função:
Agora, calculando o limite quando :
Parece que ainda estamos obtendo 0.

Passo 5

Vamos tentar um caminho diferente, por exemplo, . Substituindo na função:
Agora, calculando o limite quando :
Ainda estamos vendo 0. Vamos tentar um caminho onde com outro valor de .

Passo 6

Vamos escolher . Substituindo na função:
Calculando o limite quando :
Ainda estamos obtendo 0.

Passo 7

Até agora, todas as tentativas de diferentes caminhos nos deram o limite igual a 0. Embora não seja uma prova completa, com base nessas análises, podemos conjecturar que o limite é 0.

Resposta

O limite existe e é igual a 0.

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