Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite năo existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso está dentro do conteúdo de limites de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo do eixo
, ou seja, definindo
. Substituindo
na função:
Então, ao longo do eixo
, o limite é 0.
Passo 3
Agora, vamos tentar ao longo do eixo
, definindo
. Substituindo
na função:
Então, ao longo do eixo
, o limite também é 0.
Passo 4
Embora os limites ao longo dos eixos sejam iguais, isso não garante que o limite geral exista. Precisamos verificar outros caminhos. Vamos tentar um caminho onde
, onde
e
são constantes que escolhemos para ver se obtemos diferentes resultados.
Vamos escolher
. Substituindo na função:
Agora, calculando o limite quando
:
Parece que ainda estamos obtendo 0.
Passo 5
Vamos tentar um caminho diferente, por exemplo,
. Substituindo na função:
Agora, calculando o limite quando
:
Ainda estamos vendo 0. Vamos tentar um caminho onde
com outro valor de
.
Passo 6
Vamos escolher
. Substituindo na função:
Calculando o limite quando
:
Ainda estamos obtendo 0.
Passo 7
Até agora, todas as tentativas de diferentes caminhos nos deram o limite igual a 0. Embora não seja uma prova completa, com base nessas análises, podemos conjecturar que o limite é 0.
Resposta
O limite existe e é igual a 0.
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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite năo existe.
Utilize uma tabela de valores numéricos de
para
perto da origem para conjecturar sobre o limite de
quando
. Em seguida, explique por que sua conjectura está correta.
Efetue as operações indicadas:
Efetue as operações indicadas: