Utilize uma tabela de valores numéricos de para perto da origem para conjecturar sobre o limite de quando . Em seguida, explique por que sua conjectura está correta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar uma tabela de valores de perto da origem para conjecturar qual é o limite dessa função quando se aproxima de . Depois, precisamos explicar por que nossa hipótese está correta. Estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, um tópico de cálculo multivariável. Vamos precisar calcular valores de para diferentes pontos próximos a e analisar o comportamento desses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher alguns caminhos pelos quais se aproxima de . Por exemplo, podemos fixar , , ou fazer depender de de diferentes maneiras, como onde é uma constante.

Passo 3

Vamos calcular para alguns valores próximos a :
0.1 0.1
0.05 0.05
0.01 0.01
-0.1 -0.1
0.1 -0.05

Passo 4

Analisando os valores da tabela, percebemos que conforme se aproxima de pelo caminho onde , os valores de parecem estar se aproximando de 0. No entanto, quando escolhemos outros caminhos, como por exemplo , o limite parece variar, chegando a valores diferentes, como aproximadamente 0.111.

Passo 5

Essa variação nos resultados indica que o limite de quando pode depender do caminho pelo qual estamos nos aproximando da origem. Ou seja, o limite pode não existir, já que diferentes caminhos levam a diferentes valores.

Passo 6

Para confirmar nossa conjectura, vamos analisar a função . Suponha que , onde é uma constante. Substituindo na função:
Quando , o numerador tende a 0 e o denominador tende a , então . Porém, se escolhermos um caminho diferente, como , temos:
Isso indica uma indeterminação, sugerindo que o limite pode não existir ou ser infinito dependendo do caminho escolhido.

Resposta

Com base na análise dos diferentes caminhos e dos cálculos realizados, concluímos que o limite de quando não existe, pois o valor do limite varia dependendo do caminho pelo qual nos aproximamos da origem.

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Utilize a regra da cadeia para determinar .
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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite năo existe.
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