Utilize uma tabela de valores numéricos de
para
perto da origem para conjecturar sobre o limite de
quando
. Em seguida, explique por que sua conjectura está correta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar uma tabela de valores de
perto da origem
para conjecturar qual é o limite dessa função quando
se aproxima de
. Depois, precisamos explicar por que nossa hipótese está correta. Estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, um tópico de cálculo multivariável. Vamos precisar calcular valores de
para diferentes pontos próximos a
e analisar o comportamento desses valores.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher alguns caminhos pelos quais
se aproxima de
. Por exemplo, podemos fixar
,
, ou fazer
depender de
de diferentes maneiras, como
onde
é uma constante.
Passo 3
Vamos calcular
para alguns valores próximos a
:
|
|
|
---|---|---|
0.1 | 0.1 |
|
0.05 | 0.05 |
|
0.01 | 0.01 |
|
-0.1 | -0.1 |
|
0.1 | -0.05 |
|
Passo 4
Analisando os valores da tabela, percebemos que conforme
se aproxima de
pelo caminho onde
, os valores de
parecem estar se aproximando de 0. No entanto, quando escolhemos outros caminhos, como por exemplo
, o limite parece variar, chegando a valores diferentes, como aproximadamente 0.111.
Passo 5
Essa variação nos resultados indica que o limite de
quando
pode depender do caminho pelo qual estamos nos aproximando da origem. Ou seja, o limite pode não existir, já que diferentes caminhos levam a diferentes valores.
Passo 6
Para confirmar nossa conjectura, vamos analisar a função
. Suponha que
, onde
é uma constante. Substituindo na função:
Quando
, o numerador tende a 0 e o denominador tende a
, então
. Porém, se escolhermos um caminho diferente, como
, temos:
Isso indica uma indeterminação, sugerindo que o limite pode não existir ou ser infinito dependendo do caminho escolhido.
Resposta
Com base na análise dos diferentes caminhos e dos cálculos realizados, concluímos que o limite de
quando
não existe, pois o valor do limite varia dependendo do caminho pelo qual nos aproximamos da origem.
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Utilize a regra da cadeia para determinar
.
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.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite năo existe.
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