Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (0,0) x^2-x y+x-yx-y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o limite da função x^2-x y+x-yx-y quando (x, y) se aproxima de (0,0). Isso envolve o conteúdo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar analisar se o limite existe verificando diferentes caminhos pelos quais (x, y) pode chegar a (0,0).

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão. A gente tem x^2-x y+x-yx-y. Vamos ver se conseguimos fatorar o numerador para simplificar a fração.

Passo 3

Observando o numerador x^2 - x y + x - y, vamos agrupar os termos:
x^2 + x - x y - y = x(x + 1) - y(x + 1) = (x - y)(x + 1).

Passo 4

Agora que o numerador é (x - y)(x + 1), podemos substituir na expressão original:
(x - y)(x + 1)x - y.

Passo 5

Simplificando a fração, o (x - y) no numerador e denominador se cancelam, desde que x - y neq 0:
(x - y)(x + 1)x - y = x + 1.

Passo 6

Agora, a função simplificada é x + 1. Vamos encontrar o limite quando (x, y) (0,0):
lim (x, y) (0,0) (x + 1) = 0 + 1 = 1.

Resposta

O limite é igual a 1.

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