Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (1,1) x^2+y^2-2-2(x-1)-2(y-1)raiz(x-1)^2+(y-1)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis, e , se aproximando de . O conteúdo aqui é de cálculo multivariável, especificamente sobre limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e analisar o comportamento dela conforme se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador da fração:
x^2 + y^2 - 2 - 2(x - 1) - 2(y - 1)
Vamos distribuir os termos:
x^2 + y^2 - 2 - 2x + 2 - 2y + 2
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
x^2 - 2x + y^2 - 2y + 2

Passo 3

Perceba que (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + 2 - 1 - 1 é um quadrado perfeito, que pode ser escrito como (x - 1)^2 + (y - 1)^2 . O mesmo vale para . Então, podemos reescrever o numerador:
Simplificando:

Passo 4

Agora, nossa expressão original fica:
lim(x, y) (1,1) (x - 1)^2 + (y - 1)^2raiz(x - 1)^2 + (y - 1)^2
Podemos notar que o denominador é a raiz quadrada da soma dos quadrados de r^2r = r e , o que é igual à distância euclidiana entre e , representada por .
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, ao calcular o limite quando limr 0 r = 0 se aproxima de 0 (pois está se aproximando de ), temos:

Resposta

O limite é igual a 0.

Exercícios relacionados

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (0,0) x^2-x y+x-yx-y
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (0,0) x yx^2+y^2-12
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (0,0) x yx^2+y^2+cos (x y)
Determine e represente graficamente o domínio da função:
f(x, y) = raiz(9 - x^2) + raiz(y^2 - 4)