Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis,
e
, se aproximando de
. O conteúdo aqui é de cálculo multivariável, especificamente sobre limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e analisar o comportamento dela conforme
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o numerador da fração:
Vamos distribuir os termos:
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
Passo 3
Perceba que
é um quadrado perfeito, que pode ser escrito como
. O mesmo vale para
. Então, podemos reescrever o numerador:
Simplificando:
Passo 4
Agora, nossa expressão original fica:
Podemos notar que o denominador é a raiz quadrada da soma dos quadrados de
e
, o que é igual à distância euclidiana entre
e
, representada por
.
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, ao calcular o limite quando
se aproxima de 0 (pois
está se aproximando de
), temos:
Resposta
O limite é igual a 0.
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Determine e represente graficamente o domínio da função: