Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) 3^x^2+y^2-1x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar o limite da função quando se aproxima de . Esse tipo de problema está dentro da matéria de cálculo de limites para funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar usar umas paradas como coordenadas polares e expansão em série para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos notar que a função depende de 3^x^2+y^2-1x^2+y^2 = 3^r^2 - 1r^2 . Esse termo é muito comum quando a gente muda para coordenadas polares, onde limr to 0 3^r^2 - 1r^2 e . Assim, . Vamos fazer essa mudança para deixar a coisa mais simples:
Agora, nosso limite fica:

Passo 3

A próxima etapa é simplificar 3^r^2 = e^r^2 ln 3 . Sabemos que qualquer exponencial pode ser escrita usando a base e^x = 1 + x + x^22! + x^33! + dots , então:
3^r^2 = 1 + r^2 ln 3 + (r^2 ln 3)^22 + dots
Agora, podemos usar a expansão em série de Taylor para em torno de :
Aplicando isso para :

Passo 4

Substituindo essa expansão na expressão original do limite:
3^r^2 - 1r^2 = 1 + r^2 ln 3 + (r^2 ln 3)^22 + dots - 1r^2 = r^2 ln 3 + (r^2 ln 3)^22 + dotsr^2
Simplificando dividindo cada termo por = ln 3 + r^2 (ln 3)^22 + dots :

Passo 5

Agora, quando limr to 0 ( ln 3 + r^2 (ln 3)^22 + dots ) = ln 3 , todos os termos que têm ou potências maiores vão para zero. Então, o que sobra é:

Resposta

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