Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar o limite da função
quando
se aproxima de
. Esse tipo de problema está dentro da matéria de cálculo de limites para funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar usar umas paradas como coordenadas polares e expansão em série para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos notar que a função depende de
. Esse termo é muito comum quando a gente muda para coordenadas polares, onde
e
. Assim,
. Vamos fazer essa mudança para deixar a coisa mais simples:
Agora, nosso limite fica:
Passo 3
A próxima etapa é simplificar
. Sabemos que qualquer exponencial pode ser escrita usando a base
, então:
Agora, podemos usar a expansão em série de Taylor para
em torno de
:
Aplicando isso para
:
Passo 4
Substituindo essa expansão na expressão original do limite:
Simplificando dividindo cada termo por
:
Passo 5
Agora, quando
, todos os termos que têm
ou potências maiores vão para zero. Então, o que sobra é: