Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir qual é o maior conjunto de números para os quais a função
é contínua. Vamos usar o que sabemos sobre funções contínuas e condições necessárias para as operações com raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se ela está definida nesse ponto e não apresenta “saltos” ou “quebras”. No caso das raízes quadradas, a expressão dentro do radical tem que ser maior ou igual a zero porque não dá para tirar raiz quadrada de número negativo no conjunto dos números reais.
Passo 3
Então, para a função
ser válida, precisamos que
. Isso garante que não teremos problemas na parte positiva do que queremos calcular.
Passo 4
Da mesma forma, para a função
ser válida, é necessário que
. Isso também evita que a gente tente tirar raiz quadrada de um número negativo na parte subtraída da nossa função.
Passo 5
Agora, juntando essas duas condições, temos que:
Essas duas inequações nos vão ajudar a determinar para quais valores de
e
a função
é contínua.
Passo 6
Vamos resolver essas inequações. Da primeira,
, podemos escrever que
. Da segunda,
, o que dá
.
Passo 7
Então, combinado, temos que
deve ser maior ou igual a
e, ao mesmo tempo, menor ou igual a
. Geometricamente, isso significa que estamos buscando os pontos
que estão entre as linhas
e
.
Passo 8
Além disso,
pode ser qualquer número real, mas dependendo do
, precisamos que essas condições sejam satisfeitas para garantir que a função está bem definida e, portanto, contínua.
Resposta
O maior conjunto onde a função
é contínua é o conjunto de todos os pares
tais que
e
. Em outras palavras: