Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
f(x, y) = raiz(x + y) - raiz(x - y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir qual é o maior conjunto de números para os quais a função é contínua. Vamos usar o que sabemos sobre funções contínuas e condições necessárias para as operações com raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se ela está definida nesse ponto e não apresenta “saltos” ou “quebras”. No caso das raízes quadradas, a expressão dentro do radical tem que ser maior ou igual a zero porque não dá para tirar raiz quadrada de número negativo no conjunto dos números reais.

Passo 3

Então, para a função ser válida, precisamos que . Isso garante que não teremos problemas na parte positiva do que queremos calcular.

Passo 4

Da mesma forma, para a função ser válida, é necessário que . Isso também evita que a gente tente tirar raiz quadrada de um número negativo na parte subtraída da nossa função.

Passo 5

Agora, juntando essas duas condições, temos que:
Essas duas inequações nos vão ajudar a determinar para quais valores de e a função é contínua.

Passo 6

Vamos resolver essas inequações. Da primeira, , podemos escrever que . Da segunda, , o que dá .

Passo 7

Então, combinado, temos que deve ser maior ou igual a e, ao mesmo tempo, menor ou igual a . Geometricamente, isso significa que estamos buscando os pontos que estão entre as linhas e .

Passo 8

Além disso, pode ser qualquer número real, mas dependendo do , precisamos que essas condições sejam satisfeitas para garantir que a função está bem definida e, portanto, contínua.

Resposta

O maior conjunto onde a função é contínua é o conjunto de todos os pares tais que e . Em outras palavras:

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