Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (0,0) x yx^2+y^2+cos (x y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o limite quando (x, y) se aproxima de (0,0) para a função xyx^2+y^2+cos(xy). Esse tipo de problema tá na matéria de limites de funções de duas variáveis. Pra resolver, vamos precisar verificar como a função se comporta quando nos aproximamos de (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que acontece se a gente se aproxima de (0,0) pelo eixo y, ou seja, quando x = 0. Substituindo na função:
0 cdot y0^2 + y^2 + cos(0 cdot y) = 0 + cos(0) = 0 + 1 = 1
Então, ao se aproximar pelo eixo y, o limite é 1.

Passo 3

Agora, vamos ver o que rola se a gente se aproxima por uma reta diferente, por exemplo, y = x. Substituindo na função:
x cdot xx^2 + x^2 + cos(x cdot x) = x^22x^2 + cos(x^2) = 12 + cos(x^2)
Quando x tende a 0, cos(x^2) tende a cos(0) = 1. Então, o limite por esse caminho é:
12 + 1 = 32

Passo 4

A gente comparou dois caminhos diferentes e viu que:
  • Pelo eixo y, o limite é 1.
  • Pela reta y = x, o limite é 32.
Como os limites são diferentes dependendo do caminho que a gente escolhe para se aproximar de (0,0), isso significa que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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