Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x^4-y^4x^2+y^2

Passo 1

Vamos resolver o limite . Estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, que é uma área da matemática que estuda como as funções se comportam quando suas entradas se aproximam de um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões envolvendo e e verificar se o limite existe ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão . Notamos que o numerador pode ser fatorado como uma diferença de quadrados: .

Passo 3

Substituindo a fatoração no limite, temos:
x^4-y^4x^2+y^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)x^2+y^2
Aqui, podemos cancelar no numerador e denominador, desde que , o que é verdade enquanto nos aproximamos de sem ser exatamente nesse ponto.

Passo 4

Após o cancelamento, a expressão simplifica para . Agora, queremos encontrar o limite de quando se aproxima de .

Passo 5

Para encontrar esse limite, podemos substituir lim (x, y) (0,0) (x^2 - y^2) = 0^2 - 0^2 = 0 e diretamente na expressão simplificada:
Isso sugere que o limite é 0.

Resposta

lim (x, y) (0,0) x^4-y^4x^2+y^2 = 0

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