Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de limites em várias variáveis. O enunciado pede para determinar o limite da função quando se aproxima de . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites em funções de várias variáveis e verificar se o limite existe ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador separadamente quando se aproxima de .
  • Numerador:
    Substituindo os valores:
  • Denominador:
    Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, como tanto o numerador quanto o denominador são funções contínuas nas variáveis consideradas, podemos calcular o limite dividindo os limites do numerador pelo denominador, desde que o denominador não seja zero.
Então, temos:

Passo 4

É importante verificar se o denominador não está se aproximando de zero, o que poderia complicar as coisas. No nosso caso, o denominador se aproxima de 2, que não é zero. Isso garante que o limite existe e é igual a .

Passo 5

Para ter certeza de que o limite existe, podemos pensar em diferentes caminhos para se aproximar de e ver se o valor do limite permanece o mesmo. Como calculamos diretamente e obtivemos o mesmo resultado, podemos afirmar que o limite existe.

Resposta

O limite existe e é igual a .

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