Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y, z) (1,-1,-1) 2 x y-y zx^2+z^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de limites em várias variáveis. O enunciado pede para determinar o limite da função 2xy - yzx^2 + z^2 quando (x, y, z) se aproxima de (1, -1, -1). Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites em funções de várias variáveis e verificar se o limite existe ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador separadamente quando (x, y, z) se aproxima de (1, -1, -1).
  • Numerador: 2xy - yz
    Substituindo os valores:
    2(1)(-1) - (-1)(-1) = -2 - 1 = -3
  • Denominador: x^2 + z^2
    Substituindo os valores:
    1^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2

Passo 3

Agora, como tanto o numerador quanto o denominador são funções contínuas nas variáveis consideradas, podemos calcular o limite dividindo os limites do numerador pelo denominador, desde que o denominador não seja zero.
Então, temos:
lim (x, y, z) (1,-1,-1) 2 x y - y zx^2 + z^2 = lim (2xy - yz)lim (x^2 + z^2) = -32

Passo 4

É importante verificar se o denominador não está se aproximando de zero, o que poderia complicar as coisas. No nosso caso, o denominador se aproxima de 2, que não é zero. Isso garante que o limite existe e é igual a -32.

Passo 5

Para ter certeza de que o limite existe, podemos pensar em diferentes caminhos para (x, y, z) se aproximar de (1, -1, -1) e ver se o valor do limite permanece o mesmo. Como calculamos diretamente e obtivemos o mesmo resultado, podemos afirmar que o limite existe.

Resposta

O limite existe e é igual a -32.

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