Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de limites em várias variáveis. O enunciado pede para determinar o limite da função
quando
se aproxima de
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites em funções de várias variáveis e verificar se o limite existe ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador separadamente quando
se aproxima de
.
-
Numerador:Substituindo os valores:
-
Denominador:Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, como tanto o numerador quanto o denominador são funções contínuas nas variáveis consideradas, podemos calcular o limite dividindo os limites do numerador pelo denominador, desde que o denominador não seja zero.
Então, temos:
Passo 4
É importante verificar se o denominador não está se aproximando de zero, o que poderia complicar as coisas. No nosso caso, o denominador se aproxima de 2, que não é zero. Isso garante que o limite existe e é igual a
.
Passo 5
Para ter certeza de que o limite existe, podemos pensar em diferentes caminhos para
se aproximar de
e ver se o valor do limite permanece o mesmo. Como calculamos diretamente e obtivemos o mesmo resultado, podemos afirmar que o limite existe.
Resposta
O limite existe e é igual a
.
Exercícios relacionados
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Determine o maior conjunto de pontos do
ou
, conforme o item, nos quais a função dada é contínua.
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem.