Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (2,2) x+y-4raizx+y-2

Passo 1

Aqui, vamos encontrar o limite de quando se aproxima de . Estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis e vamos precisar simplificar a expressão para determinar se o limite existe e, se existir, qual é o seu valor.

Passo 2

Primeiro, observamos que quando se aproxima de , a soma se aproxima de . Assim, o numerador tende a e o denominador também tende a . Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo , que precisamos resolver simplificando a expressão.

Passo 3

Para simplificar, vamos racionalizar o denominador. Isso significa que vamos multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do denominador, que é x+y-4raizx+y-2 times raizx+y+2raizx+y+2 :

Passo 4

Multiplicando as expressões, temos:
(x+y-4)(raizx+y+2)(raizx+y-2)(raizx+y+2) = (x+y-4)(raizx+y+2)(x+y) - 4
Note que (x+y-4)(raizx+y+2)x+y - 4 = raizx+y + 2 aparece no numerador e no denominador, então podemos simplificar esses termos:

Passo 5

Agora, calculamos o limite da expressão simplificada raiz4 + 2 = 2 + 2 = 4 quando se aproxima de :

Resposta

O limite é igual a 4.

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