Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (1,1) x y-y-2 x+2x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis, e , quando elas se aproximam de . O conteúdo aqui é sobre limites em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e verificar se o limite existe seguindo um caminho específico ou de forma geral.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão do limite:
lim (x, y) (1,1) x y - y - 2 x + 2x - 1
Nosso objetivo é simplificar essa fração para facilitar a análise do limite.

Passo 3

Vamos simplificar o numerador:
x y - y - 2 x + 2 = y(x) - y - 2x + 2
Podemos agrupar termos semelhantes:
= y(x - 1) - 2(x - 1) = (x - 1)(y - 2)
Então, a expressão original fica:
(x - 1)(y - 2)x - 1

Passo 4

Agora, podemos simplificar a fração cancelando o termo (x - 1)(y - 2)x - 1 = y - 2 no numerador e no denominador, desde que :

Passo 5

Agora que simplificamos, o limite fica mais fácil:
lim (x, y) (1,1) (y - 2)
Como y - 2 1 - 2 = -1 se aproxima de 1, substituímos na expressão:

Resposta

O limite é .

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