Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim (x, y) (0,0) x^2 y^3+x^3 y^2-52-x y

Passo 1

Beleza, vamos resolver um limite de função de duas variáveis. O enunciado pede para encontrar o limite de quando se aproxima de . Para isso, vamos precisar entender como calcular limites em funções de mais de uma variável.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando x^2 y^3 + x^3 y^2 - 5 se aproxima de 0 + 0 - 5 = -5 .
No numerador:
Quando e tendem para 0, os termos e vão para 0, porque multiplicar números pequenos tende a produzir números ainda menores. Então, o numerador aproxima-se de:

Passo 3

No denominador:
2 - x y
Aqui, quando 2 - 0 = 2 e tendem para 0, o produto também tende para 0. Assim, o denominador aproxima-se de:

Passo 4

Agora, juntando as duas observações, quando -52 se aproxima de , a expressão inteira se comporta como:
Isso porque o numerador tende para e o denominador tende para .

Passo 5

Como o limite do numerador existe e é finito, e o limite do denominador também existe e é diferente de zero, podemos concluir que o limite da função existe e é igual à divisão dos limites das partes.

Resposta

O limite é .

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