Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um limite de função de duas variáveis. O enunciado pede para encontrar o limite de
quando
se aproxima de
. Para isso, vamos precisar entender como calcular limites em funções de mais de uma variável.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando
se aproxima de
.
No numerador:
Quando
e
tendem para 0, os termos
e
vão para 0, porque multiplicar números pequenos tende a produzir números ainda menores. Então, o numerador aproxima-se de:
Passo 3
No denominador:
Aqui, quando
e
tendem para 0, o produto
também tende para 0. Assim, o denominador aproxima-se de:
Passo 4
Agora, juntando as duas observações, quando
se aproxima de
, a expressão inteira se comporta como:
Isso porque o numerador tende para
e o denominador tende para
.
Passo 5
Como o limite do numerador existe e é finito, e o limite do denominador também existe e é diferente de zero, podemos concluir que o limite da função existe e é igual à divisão dos limites das partes.
Resposta
O limite é
.
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