Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Esse problema está dentro do conteúdo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como a função se comporta quando os valores de
e
se aproximam de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão no numerador. Observe que temos
. Podemos usar uma expansão em série de Taylor para
quando
é pequeno:
Aqui,
, que é bem pequeno quando
e
se aproximam de zero.
Passo 3
Aplicando a aproximação de Taylor:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Passo 4
Agora, vamos substituir essa aproximação na expressão original do limite:
Passo 5
Para analisar o limite, vamos considerar o caso específico em que
. Substituindo
:
Quando
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0.
Passo 6
Outra abordagem é usar coordenadas polares, onde
e
, com
. Substituindo na expressão:
À medida que
, todo o termo tende a 0, independentemente do ângulo
.
Resposta
O limite existe e é igual a 0.
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