Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim (x, y) (0,0) raizx^2 y^2+1-1x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim(x, y) (0,0) raizx^2 y^2 + 1 - 1x^2 + y^2
Esse problema está dentro do conteúdo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como a função se comporta quando os valores de e se aproximam de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão no numerador. Observe que temos raiz1 + z approx 1 + z2 - z^28 + dots . Podemos usar uma expansão em série de Taylor para quando é pequeno:
Aqui, , que é bem pequeno quando e se aproximam de zero.

Passo 3

Aplicando a aproximação de Taylor:
raizx^2 y^2 + 1 approx 1 + x^2 y^22
Subtraindo 1 de ambos os lados:
raizx^2 y^2 + 1 - 1 approx x^2 y^22

Passo 4

Agora, vamos substituir essa aproximação na expressão original do limite:
raizx^2 y^2 + 1 - 1x^2 + y^2 approx x^2 y^22x^2 + y^2 = x^2 y^22(x^2 + y^2)

Passo 5

Para analisar o limite, vamos considerar o caso específico em que x^2 x^22(x^2 + x^2) = x^44x^2 = x^24 . Substituindo :
Quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0.

Passo 6

Outra abordagem é usar coordenadas polares, onde raizr^4 cos^2 theta sin^2 theta + 1 - 1r^2 approx r^4 cos^2 theta sin^2 theta2r^2 = r^2 cos^2 theta sin^2 theta2 e , com . Substituindo na expressão:
À medida que , todo o termo tende a 0, independentemente do ângulo .

Resposta

O limite existe e é igual a 0.
lim(x, y) (0,0) raizx^2 y^2 + 1 - 1x^2 + y^2 = 0

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