Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x^2 yx^4+4 y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite de uma função de duas variáveis, lim (x, y) (0,0) x^2 yx^4+4 y^2 e , quando se aproxima de . A função que a gente quer analisar é:
Para resolver isso, vamos precisar entender como o limite funciona em funções de várias variáveis e verificar se o valor do limite é o mesmo independente do caminho que a gente toma para chegar a .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar encontrar o limite ao longo de diferentes caminhos que levam a x^2 cdot 0x^4 + 4 cdot 0^2 = 0x^4 = 0 . Se obtivermos valores diferentes para o limite em caminhos distintos, isso significa que o limite geral não existe.
Vamos começar com o caminho onde . Substituindo na função:
Então, ao longo de , o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos tentar outro caminho. Que tal x^2 cdot kx^2x^4 + 4(kx^2)^2 = kx^4x^4 + 4k^2x^4 = kx^4x^4(1 + 4k^2) = k1 + 4k^2 , onde é uma constante? Substituindo na função:
Aqui, o limite depende do valor de . Isso significa que diferentes valores de resultam em diferentes limites.

Passo 4

Por exemplo, se escolhermos 11 + 4(1)^2 = 15 :
21 + 4(2)^2 = 217
E se escolhermos :
Como podemos ver, os limites são diferentes para diferentes valores de . Isso indica que o limite depende do caminho escolhido para se aproximar de .

Resposta

Como o limite varia dependendo do caminho escolhido para se aproximar de , concluímos que o limite não existe.

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