Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite de uma função de duas variáveis,
e
, quando
se aproxima de
. A função que a gente quer analisar é:
Para resolver isso, vamos precisar entender como o limite funciona em funções de várias variáveis e verificar se o valor do limite é o mesmo independente do caminho que a gente toma para chegar a
.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar encontrar o limite ao longo de diferentes caminhos que levam a
. Se obtivermos valores diferentes para o limite em caminhos distintos, isso significa que o limite geral não existe.
Vamos começar com o caminho onde
. Substituindo
na função:
Então, ao longo de
, o limite é 0.
Passo 3
Agora, vamos tentar outro caminho. Que tal
, onde
é uma constante? Substituindo
na função:
Aqui, o limite depende do valor de
. Isso significa que diferentes valores de
resultam em diferentes limites.
Passo 4
Por exemplo, se escolhermos
:
E se escolhermos
:
Como podemos ver, os limites são diferentes para diferentes valores de
. Isso indica que o limite depende do caminho escolhido para se aproximar de
.
Resposta
Como o limite varia dependendo do caminho escolhido para
se aproximar de
, concluímos que o limite não existe.
Exercícios relacionados
Simplifique:
Racionalize o denominador:
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Reduza a termos de menor grau: