Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x^4 y+4 x^2 y^3-y^5x^4+y^4+2 x^2 y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite de uma função de duas variáveis! Nosso objetivo é encontrar o limite de quando se aproxima de . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites multivariados e verificar se o limite existe ou não analisando diferentes caminhos que pode seguir até .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a análise. Observe que o denominador pode ser reescrito como:
x^4 + y^4 + 2x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2
Então, a função fica:
f(x, y) = x^4 y + 4 x^2 y^3 - y^5(x^2 + y^2)^2

Passo 3

Vamos tentar usar coordenadas polares para analisar o limite. Nas coordenadas polares, temos:
x = r costheta y = r sintheta
onde f(r, theta) = (r costheta)^4 (r sintheta) + 4 (r costheta)^2 (r sintheta)^3 - (r sintheta)^5(r^2)^2 = r^5 cos^4theta sintheta + 4 r^5 cos^2theta sin^3theta - r^5 sin^5thetar^4 e é o ângulo.
Substituindo na função:

Passo 4

Simplificando a expressão:
f(r, theta) = r^5 (cos^4theta sintheta + 4 cos^2theta sin^3theta - sin^5theta)r^4 = r ( cos^4theta sintheta + 4 cos^2theta sin^3theta - sin^5theta )

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento de |f(r, theta)| = |r| cdot |cos^4theta sintheta + 4 cos^2theta sin^3theta - sin^5theta| <= |r| cdot M quando . Para isso, observe que:
  • e são funções limitadas, ou seja, seus valores estão sempre entre -1 e 1.
  • Portanto, o termo dentro do parêntese está limitado por uma constante, digamos , que não depende de .
Então, temos:

Passo 6

Como , o termo também tende a 0. Pelo Teorema do Squeeze (Aperto), se e , então .

Resposta

lim (x, y) (0,0) x^4 y + 4 x^2 y^3 - y^5x^4 + y^4 + 2 x^2 y^2 = 0

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