Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite de uma função de duas variáveis! Nosso objetivo é encontrar o limite de
quando
se aproxima de
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites multivariados e verificar se o limite existe ou não analisando diferentes caminhos que
pode seguir até
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a análise. Observe que o denominador pode ser reescrito como:
Então, a função fica:
Passo 3
Vamos tentar usar coordenadas polares para analisar o limite. Nas coordenadas polares, temos:
onde
e
é o ângulo.
Substituindo na função:
Passo 4
Simplificando a expressão:
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
. Para isso, observe que:
-
e são funções limitadas, ou seja, seus valores estão sempre entre -1 e 1. - Portanto, o termo dentro do parêntese está limitado por uma constante, digamos
, que não depende de .
Então, temos:
Passo 6
Como
, o termo
também tende a 0. Pelo Teorema do Squeeze (Aperto), se
e
, então
.
Resposta
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Mostre, encontrando caminhos (que passem pelos pontos onde se avalia o limite), que os limites dados não existem:
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