Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (2,1) raizx y-2+x^3 y^3-8raizx^2 y^2-4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite passo a passo! O enunciado pede para determinar o limite da função
lim(x, y) (2,1) raizxy - 2 + x^3y^3 - 8raizx^2y^2 - 4
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como a função se comporta quando (x, y) se aproxima de (2,1).

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador quando (x, y) (2,1).
  1. Numerador: raizxy - 2 + x^3y^3 - 8
    • Substituindo (2,1):
      • xy - 2 = 2*1 - 2 = 0, então raiz0 = 0.
      • x^3y^3 = 8*1 = 8, então 8 - 8 = 0.
    • Então, o numerador tende a 0 + 0 = 0.
  2. Denominador: raizx^2y^2 - 4
    • Substituindo (2,1):
      • x^2y^2 = 4*1 = 4, então raiz4 - 4 = 0.
    • O denominador também tende a 0.
Então, temos uma forma indeterminada 00, o que significa que precisamos investigar mais a fundo.

Passo 3

Para resolver essa forma indeterminada, uma estratégia é simplificar a expressão. Vamos tentar fatorar o numerador e o denominador.
Numerador:
raizxy - 2 + x^3y^3 - 8
Percebe-se que x^3y^3 - 8 pode ser fatorado como uma diferença de cubos:
x^3y^3 - 8 = (xy)^3 - 2^3 = (xy - 2)( (xy)^2 + 2(xy) + 4 )
Então, o numerador fica:
raizxy - 2 + (xy - 2)( (xy)^2 + 2(xy) + 4 )
Denominador:
raizx^2y^2 - 4 = raiz(xy)^2 - 2^2 = raiz(xy - 2)(xy + 2)

Passo 4

Agora, vamos reescrever a função com as fatorações feitas:
raizxy - 2 + (xy - 2)( (xy)^2 + 2(xy) + 4 )raiz(xy - 2)(xy + 2)
Podemos fatorar raizxy - 2 no numerador:
raizxy - 2 ( 1 + (xy - 2)( (xy)^2 + 2(xy) + 4 ) / raizxy - 2 )
Mas isso parece complicado. Outra abordagem mais simples é analisar caminhos diferentes para (x, y) (2,1) e ver se o limite é o mesmo em todos eles. Se encontrarmos dois caminhos com limites diferentes, concluímos que o limite não existe.

Passo 5

Primeiro Caminho: Vamos fixar y = 1 e deixar x aproximar de 2.
Substituindo y = 1 na função:
raizx*1 - 2 + x^3*1^3 - 8raizx^2*1^2 - 4 = raizx - 2 + x^3 - 8raizx^2 - 4
Agora, tomando o limite quando x 2:
  • Numerador: raiz2 - 2 + 8 - 8 = 0
  • Denominador: raiz4 - 4 = 0
Ainda temos 00. Vamos usar a regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador em relação a x:
Derivada do numerador:
12raizx - 2 + 3x^2
Derivada do denominador:
2x2raizx^2 - 4 = xraizx^2 - 4
Agora, o limite fica:
limx 2 12raizx - 2 + 3x^2xraizx^2 - 4
Ao tentar calcular esse limite, percebemos que conforme x 2, os termos raizx - 2 e raizx^2 - 4 tendem a 0, tornando a expressão indefinida. Isso sugere que o limite pode não existir, mas precisamos verificar outro caminho.
Segundo Caminho: Vamos fixar x = 2 e deixar y aproximar de 1.
Substituindo x = 2 na função:
raiz2y - 2 + 8y^3 - 8raiz4y^2 - 4 = raiz2(y - 1) + 8(y^3 - 1)raiz4(y^2 - 1) = raiz2(y - 1) + 8(y - 1)(y^2 + y + 1)2raizy^2 - 1
Agora, tomando o limite quando y 1:
  • Numerador: raiz0 + 8*0* = 0
  • Denominador: 2raiz1 - 1 = 0
Novamente, temos 00. Aplicando a regra de L’Hôpital em relação a y:
Derivada do numerador:
22raiz2(y - 1) + 8(3y^2 + 2y + 1)
Derivada do denominador:
2 * 2y2raizy^2 - 1 = 2yraizy^2 - 1
Novamente, ao calcular o limite, percebemos comportamentos que indicam que o limite pode divergir ou depender do caminho escolhido.

Passo 6

Como os limites ao longo dos caminhos y=1 e x=2 não resultam em um valor consistente e apresentam comportamentos diferentes, podemos concluir que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x^4 y+4 x^2 y^3-y^5x^4+y^4+2 x^2 y^2.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (1,4) (x-1)^5(y+2) cos (1(x-1)^2(y-4)^6).
Mostre, encontrando caminhos (que passem pelos pontos onde se avalia o limite), que os limites dados não existem:
lim (x, y) (-3,-2) y+2x^2+y^2-13.
Seja f definida por
f(x, y) = { (x^2 - y) * y / x^4 se 0 < y < x^2; 0 em outro caso. }
Prove que o limite de f(x, y) quando (x, y) tende para (0,0), não existe.