Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite passo a passo! O enunciado pede para determinar o limite da função
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como a função se comporta quando
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador quando
.
-
Numerador:
- Substituindo
: -
, então . -
, então .
-
- Então, o numerador tende a
.
- Substituindo
-
Denominador:
- Substituindo
: -
, então .
-
- O denominador também tende a
.
- Substituindo
Então, temos uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos investigar mais a fundo.
Passo 3
Para resolver essa forma indeterminada, uma estratégia é simplificar a expressão. Vamos tentar fatorar o numerador e o denominador.
Numerador:
Percebe-se que
pode ser fatorado como uma diferença de cubos:
Então, o numerador fica:
Denominador:
Passo 4
Agora, vamos reescrever a função com as fatorações feitas:
Podemos fatorar
no numerador:
Mas isso parece complicado. Outra abordagem mais simples é analisar caminhos diferentes para
e ver se o limite é o mesmo em todos eles. Se encontrarmos dois caminhos com limites diferentes, concluímos que o limite não existe.
Passo 5
Primeiro Caminho: Vamos fixar
e deixar
aproximar de
.
Substituindo
na função:
Agora, tomando o limite quando
:
- Numerador:
- Denominador:
Ainda temos
. Vamos usar a regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador em relação a
:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Agora, o limite fica:
Ao tentar calcular esse limite, percebemos que conforme
, os termos
e
tendem a
, tornando a expressão indefinida. Isso sugere que o limite pode não existir, mas precisamos verificar outro caminho.
Segundo Caminho: Vamos fixar
e deixar
aproximar de
.
Substituindo
na função:
Agora, tomando o limite quando
:
- Numerador:
- Denominador:
Novamente, temos
. Aplicando a regra de L’Hôpital em relação a
:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Novamente, ao calcular o limite, percebemos comportamentos que indicam que o limite pode divergir ou depender do caminho escolhido.
Passo 6
Como os limites ao longo dos caminhos
e
não resultam em um valor consistente e apresentam comportamentos diferentes, podemos concluir que o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.
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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
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Mostre, encontrando caminhos (que passem pelos pontos onde se avalia o limite), que os limites dados não existem:
.
Seja
definida por
Prove que o limite de
quando
tende para
, não existe.