Uma partícula se desloca sobre o eixo de acordo com uma função posição . Sendo a função velocidade da partícula e a função aceleração da partícula, determine nos casos abaixo:
e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos diz que uma partícula se move ao longo do eixo com uma função de velocidade e que a posição inicial . Nosso objetivo é encontrar a função posição .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, ou seja, . Para encontrar , precisamos integrar a função velocidade.

Passo 3

Vamos integrar :

Passo 4

A integral de pode ser resolvida usando frações parciais. Sabemos que:
Então, integramos cada termo separadamente.

Passo 5

Integrando cada parte:

Passo 6

Simplificando a expressão:

Passo 7

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar a constante :

Resposta

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(a) Se , qual a quantidade total de água fornecida por hora para a região dentro do círculo de raio centrada no pulverizador?
(b) Determine uma expressão para a quantidade média de água por hora por metro quadrado fornecida à região dentro do círculo de raio .
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