Uma partícula se desloca sobre o eixo
de acordo com uma função posição
. Sendo
a função velocidade da partícula e
a função aceleração da partícula, determine
nos casos abaixo:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos diz que uma partícula se move ao longo do eixo
com uma função de velocidade
e que a posição inicial
. Nosso objetivo é encontrar a função posição
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, ou seja,
. Para encontrar
, precisamos integrar a função velocidade.
Passo 3
Vamos integrar
:
Passo 4
A integral de
pode ser resolvida usando frações parciais. Sabemos que:
Então, integramos cada termo separadamente.
Passo 5
Integrando cada parte:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Passo 7
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resposta
Exercícios relacionados
Encontre as coordenadas polares
, com
e
, do ponto de coordenadas cartesianas
.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
Um pulverizador agrícola distribui água em um padrão circular de 50 m de raio. Ele fornece água até uma profundidade de
metros por hora a uma distância de
metros do pulverizador.
(a) Se , qual a quantidade total de água fornecida por hora para a região dentro do círculo de raio
centrada no pulverizador?
(b) Determine uma expressão para a quantidade média de água por hora por metro quadrado fornecida à região dentro do círculo de raio .
(a) Se
(b) Determine uma expressão para a quantidade média de água por hora por metro quadrado fornecida à região dentro do círculo de raio
Utilizando a definição, determine a transformada de Laplace da função
. Justifique sua resposta.