Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem a função
e precisa descobrir o que acontece com ela quando
se aproxima de
. Isso envolve conceitos de Limites Multivariáveis, onde analisamos o comportamento da função em duas direções:
indo para 0 e
indo para o infinito. Vamos precisar entender como cada parte da função cresce ou diminui nessas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar o numerador da fração:
. Aqui,
está indo para 0 e
está indo para o infinito porque
tende para o infinito. O produto dessas duas partes vai depender de como
se comporta em relação ao crescimento de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o denominador:
. Assim como antes,
vai para 0 porque
vai para 0, e
vai para o infinito já que
tende para o infinito. Então, o denominador é praticamente dominado por
quando
fica bem grande.
Passo 4
Vamos simplificar a função considerando os comportamentos que vimos:
Agora, precisamos ver para onde essa nova expressão vai quando
Passo 5
A expressão
tem
indo para 0 e
indo para o infinito. Quando dividimos um número que vai para 0 por um que vai para o infinito, o resultado tende para 0. Isso porque o denominador cresce muito mais rápido que o numerador diminui.
Passo 6
Para ter certeza de que o limite é 0, vamos considerar diferentes caminhos de abordagem. Por exemplo:
- Se
, a função é 0. - Se
, então . - Se
com qualquer , sempre vamos ter .
Em todos os casos, o limite é 0.
Resposta
O limite é
.
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considerando diversos casos para a constante
.