Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0, infty) x y^4x^2+y^8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem a função x y^4x^2+y^8 e precisa descobrir o que acontece com ela quando (x, y) se aproxima de (0, infty). Isso envolve conceitos de Limites Multivariáveis, onde analisamos o comportamento da função em duas direções: x indo para 0 e y indo para o infinito. Vamos precisar entender como cada parte da função cresce ou diminui nessas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar o numerador da fração: x y^4. Aqui, x está indo para 0 e y^4 está indo para o infinito porque y tende para o infinito. O produto dessas duas partes vai depender de como x se comporta em relação ao crescimento de y^4.

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador: x^2 + y^8. Assim como antes, x^2 vai para 0 porque x vai para 0, e y^8 vai para o infinito já que y tende para o infinito. Então, o denominador é praticamente dominado por y^8 quando y fica bem grande.

Passo 4

Vamos simplificar a função considerando os comportamentos que vimos:
x y^4x^2 + y^8 approx x y^4y^8 = xy^4
Agora, precisamos ver para onde essa nova expressão vai quando x 0 e y infty.

Passo 5

A expressão xy^4 tem x indo para 0 e y^4 indo para o infinito. Quando dividimos um número que vai para 0 por um que vai para o infinito, o resultado tende para 0. Isso porque o denominador cresce muito mais rápido que o numerador diminui.

Passo 6

Para ter certeza de que o limite é 0, vamos considerar diferentes caminhos de abordagem. Por exemplo:
  • Se x = 0, a função é 0.
  • Se x = 1y^4, então 1y^4y^4 = 1y^8 0.
  • Se x = 1y^n com qualquer n > 0, sempre vamos ter 1y^n + 4 0.
Em todos os casos, o limite é 0.

Resposta

O limite é 0.

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considerando diversos casos para a constante k.