Esboce as curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais. r(t) = (t, t^2 + 1, -1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para esboçar a curva definida pela função vetorial . Isso está relacionado ao estudo de funções vetoriais em espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como cada componente de define a posição de um ponto no espaço e como juntas elas formam uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada componente da função vetorial separadamente:
  • Componente x:
  • Componente y:
  • Componente z:
Isso significa que, para cada valor de , temos um ponto no espaço com coordenadas .

Passo 3

Observe que a componente é constante, ou seja, não depende de . Isso indica que todos os pontos da curva estarão na mesma altura no eixo z, especificamente no plano .

Passo 4

Agora, vamos focar nas componentes e . Se considerarmos apenas essas duas, temos e . Podemos eliminar da equação para relacionar e :
Essa �� a equação de uma parábola que abre para cima, deslocada 1 unidade para cima no eixo y.

Passo 5

Juntando tudo, sabemos que:
  • A curva está no plano .
  • A projeção dela no plano xy é uma parábola .
Então, a curva completa é uma parábola que está “estacionária” na altura .

Resposta

A curva definida pela função vetorial é uma parábola situada no plano . Para esboçá-la, desenhe a parábola no plano xy e, em seguida, posicione essa parábola a uma altura fixa de no espaço tridimensional.

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