integral 1x^2+k d x
considerando diversos casos para a constante k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse tipo de integral faz parte do estudo de integrais envolvendo funções racionais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como a constante afeta a forma da fração e qual técnica de integração usar dependendo do valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nos diferentes casos para . O valor de pode ser positivo, negativo ou zero, e cada situação pode mudar a maneira como integramos a expressão.

Passo 3

Caso 1: integral 1x^2 + a^2 , dx = 1a arctan(xa) + C
Quando integral 1x^2 + k , dx = 1raizk arctan(xraizk) + C é positivo, a expressão no denominador se parece com a forma que usamos para a função arco-tangente. Sabemos que:
Aqui, , então . Aplicando isso à nossa integral:

Passo 4

Caso 2: 1x^2 - m^2
Quando integral 1x^2 - a^2 , dx = 12a ln|x - ax + a| + C é negativo, podemos reescrever integral 1x^2 + k , dx = 12raiz-k ln|x - raiz-kx + raiz-k| + C como , onde . A fração passa a ficar:
Essa expressão se parece com a forma utilizada para a função arco-tangente hiperbólica. Sabemos que:
Substituindo :

Passo 5

Caso 3: integral 1x^2 , dx
Se integral x^-2 , dx = -x^-1 + C = -1x + C , a integral fica:
Essa é uma integral básica que podemos resolver facilmente. Sabemos que:

Resposta

Dependendo do valor de 1raizk arctan(xraizk) + C , a integral 12raiz-k ln|x - raiz-kx + raiz-k| + C é dada por:
  • Para -1x + C :
  • Para :
  • Para :

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