Verifique se a série é convergente ou divergente.
(b)
(b)
Passo 1
Aqui, temos que verificar se a série
é convergente ou divergente. Vamos usar os conceitos de séries alternadas e testes de convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que essa série é uma série alternada porque os termos mudam de sinal conforme
aumenta, devido ao
. Para verificar a convergência, podemos aplicar o Teste da Série Alternada.
Passo 3
O Teste da Série Alternada funciona da seguinte maneira: uma série da forma
converge se três condições forem satisfeitas:
- Positividade: Os termos
são sempre positivos. - Decrescimento: Os termos
são decrescentes, ou seja, para todo . - Limite Zero: O limite de
quando tende ao infinito é zero, .
Passo 4
Vamos verificar essas condições para a nossa série:
- Positividade: Aqui,
, que é sempre positivo para todo . - Decrescimento: Conforme
aumenta, aumenta, então diminui. Portanto, os termos são decrescentes. - Limite Zero: Calculando o limite:
Esse limite é igual a zero.
Passo 5
Como todas as três condições do Teste da Série Alternada são atendidas, podemos concluir que a série converge.
Resposta
A série
é convergente.
Exercícios relacionados
A fim de calcular a integral a seguir por coordenadas polares onde
é a região limitada pelo semicírculo
e o eixo
:
Calcule
em coordenadas polares.
(a) O que significa dizer que uma série é absolutamente convergente?
(b) O que significa dizer que uma série é condicionalmente convergente?
© Se a série de termos positivos converge, o que você pode afirmar sobre a série
?
(b) O que significa dizer que uma série é condicionalmente convergente?
© Se a série de termos positivos
(a) Explique a diferença entre