Verifique se a série é convergente ou divergente.
(b)

Passo 1

Aqui, temos que verificar se a série é convergente ou divergente. Vamos usar os conceitos de séries alternadas e testes de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que essa série é uma série alternada porque os termos mudam de sinal conforme aumenta, devido ao . Para verificar a convergência, podemos aplicar o Teste da Série Alternada.

Passo 3

O Teste da Série Alternada funciona da seguinte maneira: uma série da forma converge se três condições forem satisfeitas:
  1. Positividade: Os termos são sempre positivos.
  2. Decrescimento: Os termos são decrescentes, ou seja, para todo .
  3. Limite Zero: O limite de quando tende ao infinito é zero, .

Passo 4

Vamos verificar essas condições para a nossa série:
  1. Positividade: Aqui, , que é sempre positivo para todo .
  2. Decrescimento: Conforme aumenta, aumenta, então diminui. Portanto, os termos são decrescentes.
  3. Limite Zero: Calculando o limite: Esse limite é igual a zero.

Passo 5

Como todas as três condições do Teste da Série Alternada são atendidas, podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série é convergente.

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A fim de calcular a integral a seguir por coordenadas polares onde é a região limitada pelo semicírculo e o eixo :
Calcule em coordenadas polares.
(a) O que significa dizer que uma série é absolutamente convergente?
(b) O que significa dizer que uma série é condicionalmente convergente?
© Se a série de termos positivos converge, o que você pode afirmar sobre a série ?
(a) Explique a diferença entre
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe: . Determine o maior conjunto onde cada uma das funções acima é contínua.