Verifique se a série é convergente ou divergente.
(b) sumn=1^infty (-1)^n-1raizn

Passo 1

Aqui, temos que verificar se a série sumn=1^infty (-1)^n-1raizn é convergente ou divergente. Vamos usar os conceitos de séries alternadas e testes de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que essa série é uma série alternada porque os termos mudam de sinal conforme aumenta, devido ao . Para verificar a convergência, podemos aplicar o Teste da Série Alternada.

Passo 3

O Teste da Série Alternada funciona da seguinte maneira: uma série da forma converge se três condições forem satisfeitas:
  1. Positividade: Os termos são sempre positivos.
  2. Decrescimento: Os termos são decrescentes, ou seja, para todo .
  3. Limite Zero: O limite de quando tende ao infinito é zero, .

Passo 4

Vamos verificar essas condições para a nossa série:
  1. Positividade: Aqui, limn to infty 1raizn = 0 , que é sempre positivo para todo .
  2. Decrescimento: Conforme aumenta, aumenta, então diminui. Portanto, os termos são decrescentes.
  3. Limite Zero: Calculando o limite: Esse limite é igual a zero.

Passo 5

Como todas as três condições do Teste da Série Alternada são atendidas, podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n-1raizn é convergente.

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