(a) Explique a diferença entre

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para explicar a diferença entre duas somas:
Aqui, estamos trabalhando com notação de somatório, que é usada para somar termos de uma sequência. Para resolver isso, vamos entender o que cada parte da soma representa e ver se há alguma diferença entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o símbolo de somatório, que é o . Ele serve para somar uma sequência de termos. A letra de baixo, como ou , indica de onde a soma começa, e a de cima, como , indica onde ela termina.
No primeiro somatório:
Aqui, é o índice que começa em 1 e vai até , somando cada termo .
No segundo somatório:
Da mesma forma, é o índice que também começa em 1 e vai até , somando cada termo .

Passo 3

Agora, vamos analisar se há alguma diferença entre usar ou como índice. Na verdade, o que importa é a posição do termo que estamos somando, não o nome da letra que usamos para o índice. Tanto quanto são apenas variáveis que representam a posição na soma.
Isso é semelhante a dizer que “Lucas gosta de pizza” e “Maria gosta de pizza” têm o mesmo verbo e objeto, apenas mudam o sujeito.

Passo 4

Portanto, ao mudar o nome do índice de para , estamos apenas usando uma letra diferente para representar a mesma coisa. O resultado final da soma não muda, já que estamos somando os mesmos termos até .

Resposta

Não há diferença entre as duas somas; e são equivalentes.

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Verifique se a série é convergente ou divergente.
(b)
A fim de calcular a integral a seguir por coordenadas polares onde é a região limitada pelo semicírculo e o eixo :
Calcule em coordenadas polares.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe: . Determine o maior conjunto onde cada uma das funções acima é contínua.
Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
(a)
(b)