Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos encontrar o limite da função quando o ponto se aproxima de . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como os termos na função se comportam quando e se aproximam de zero.

Passo 2

Primeiro, observamos que tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando . Isso nos indica que podemos aplicar propriedades dos limites para simplificar a expressão. Lembrando que é aproximadamente igual a quando está perto de zero, ou seja, para .

Passo 3

Substituindo por na função, temos:
Agora, vamos analisar essa nova expressão.

Passo 4

Para entender o comportamento dessa fração, podemos tentar expressar em termos de ou vice-versa. Uma abordagem comum é usar coordenadas polares, onde e , com .

Passo 5

Substituindo e por suas expressões em coordenadas polares:
À medida que , o numerador tende a zero, e o denominador permanece finito e positivo.

Passo 6

Portanto, o limite da expressão inteira é:
Isso significa que, independentemente da direção pela qual se aproxima de , o limite será sempre zero.

Resposta

O limite é igual a .

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Suponha que . Encontre uma expressão para (dica: lembre-se que ).
Suponha que e sejam curvas diferenciáveis, e uma função real diferenciável. Então,
©
Encontre , se e
Resolva as equações diferenciais de ordem superior:
b)