Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos encontrar o limite da função
quando o ponto
se aproxima de
. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como os termos na função se comportam quando
e
se aproximam de zero.
Passo 2
Primeiro, observamos que tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando
. Isso nos indica que podemos aplicar propriedades dos limites para simplificar a expressão. Lembrando que
é aproximadamente igual a
quando
está perto de zero, ou seja,
para
.
Passo 3
Substituindo
por
na função, temos:
Agora, vamos analisar essa nova expressão.
Passo 4
Para entender o comportamento dessa fração, podemos tentar expressar
em termos de
ou vice-versa. Uma abordagem comum é usar coordenadas polares, onde
e
, com
.
Passo 5
Substituindo
e
por suas expressões em coordenadas polares:
À medida que
, o numerador
tende a zero, e o denominador
permanece finito e positivo.
Passo 6
Portanto, o limite da expressão inteira é:
Isso significa que, independentemente da direção pela qual
se aproxima de
, o limite será sempre zero.
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Suponha que
. Encontre uma expressão para
(dica: lembre-se que
).
Suponha que
e
sejam curvas diferenciáveis,
e
uma função real diferenciável. Então,
©
©
Encontre
, se
e
Resolva as equações diferenciais de ordem superior:
b)
b)