Encontre , se e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a curva sabendo que sua derivada é e que no tempo , a curva está no ponto . Vamos usar o conceito de integrais para encontrar a função original .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função vetorial nos dá a taxa de variação dessa função em cada direção. Para encontrar a função , precisamos integrar cada componente da derivada em relação a .

Passo 3

Vamos integrar cada componente separadamente:
  1. Componente :
  2. Componente :
  3. Componente :

Passo 4

Agora, juntamos as integrais para formar a função :

Passo 5

Precisamos determinar as constantes de integração , e . Para isso, usamos a condição inicial .
Substituindo na expressão de :
Isso nos dá:

Passo 6

Substituindo as constantes na expressão de :

Resposta

A curva procurada é

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b)