Encontre gamma(t), se gamma'(t) = 2t * i + 3t^2 * j + raiz(t) * k e gamma(0) i + j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a curva gamma(t) sabendo que sua derivada é e que no tempo t = 0, a curva está no ponto . Vamos usar o conceito de integrais para encontrar a função original gamma(t).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função vetorial nos dá a taxa de variação dessa função em cada direção. Para encontrar a função gamma(t), precisamos integrar cada componente da derivada gamma'(t) em relação a t.

Passo 3

Vamos integrar cada componente separadamente:
  1. Componente i:
  2. Componente j:
  3. Componente k:

Passo 4

Agora, juntamos as integrais para formar a função gamma(t):

Passo 5

Precisamos determinar as constantes de integração , e . Para isso, usamos a condição inicial .
Substituindo t = 0 na expressão de gamma(t):
Isso nos dá:

Passo 6

Substituindo as constantes na expressão de gamma(t):

Resposta

A curva procurada é

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