Suponha que gamma'(t) != 0. Encontre uma expressão para d/dt ||gamma(t)|| (dica: lembre-se que ||v||^2 = v . v ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício diz que temos uma curva cuja derivada nunca é o vetor zero. Queremos encontrar a derivada de , que é o comprimento do vetor . Para resolver isso, vamos usar o conceito de produto escalar e derivadas de funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que a norma de um vetor pode ser expressa como , onde é o produto escalar do vetor consigo mesmo. No nosso caso, .

Passo 3

Para facilitar a derivação, vamos trabalhar com o quadrado da norma. Assim, temos . Isso simplifica a diferenciação, já que a raiz quadrada pode complicar um pouco as coisas.

Passo 4

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a . Usando a regra da derivada para produtos escalares, temos:
Aqui, é a derivada de em relação a .

Passo 5

Queremos a derivada de , não de . Sabemos que:
Substituindo o que encontramos no passo anterior:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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