Suponha que
. Encontre uma expressão para
(dica: lembre-se que
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício diz que temos uma curva
cuja derivada nunca é o vetor zero. Queremos encontrar a derivada de
, que é o comprimento do vetor
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de produto escalar e derivadas de funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que a norma de um vetor
pode ser expressa como
, onde
é o produto escalar do vetor consigo mesmo. No nosso caso,
.
Passo 3
Para facilitar a derivação, vamos trabalhar com o quadrado da norma. Assim, temos
. Isso simplifica a diferenciação, já que a raiz quadrada pode complicar um pouco as coisas.
Passo 4
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
. Usando a regra da derivada para produtos escalares, temos:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
.
Passo 5
Queremos a derivada de
, não de
. Sabemos que:
Substituindo o que encontramos no passo anterior:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Suponha que
e
sejam curvas diferenciáveis,
e
uma função real diferenciável. Então,
©
©
Um projétil é lançado com velocidade de disparo de
e ângulo de elevação de
de um ponto 10 m acima do nível do solo. Onde o projétil vai atingir o solo e com que velocidade escalar?
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Encontre
, se
e