Resolva as equações diferenciais de ordem superior:
b)
b)
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem dada por
. Estamos lidando com equações diferenciais lineares não homogêneas. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, assumimos que a solução tem a forma
. Substituindo na equação, obtemos a equação característica:
Passo 3
Resolvendo a equação característica
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as raízes são
e
.
Passo 4
Com as raízes
e
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea
. Observamos que o termo do lado direito é
, que já é uma solução da equação homogênea. Então, para evitar a duplicação de soluções, multiplicamos nossa suposição inicial por
. Assim, assumimos:
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 7
Substituindo
,
, e
na equação original:
Simplificando:
Passo 8
Igualando os termos, temos:
Portanto:
Passo 9
Então, a solução particular é:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Encontre
, se
e
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Considere uma função
, explique (de acordo com a atividade feita em aula) o que significam os seguintes parâmetros: