Resolva as equações diferenciais de ordem superior:
b)

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem dada por . Estamos lidando com equações diferenciais lineares não homogêneas. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, assumimos que a solução tem a forma . Substituindo na equação, obtemos a equação característica:

Passo 3

Resolvendo a equação característica , usamos a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as raízes são e .

Passo 4

Com as raízes e , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea . Observamos que o termo do lado direito é , que já é uma solução da equação homogênea. Então, para evitar a duplicação de soluções, multiplicamos nossa suposição inicial por . Assim, assumimos:

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de :

Passo 7

Substituindo , , e na equação original:
Simplificando:

Passo 8

Igualando os termos, temos:
Portanto:

Passo 9

Então, a solução particular é:

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Encontre , se e
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Considere uma função , explique (de acordo com a atividade feita em aula) o que significam os seguintes parâmetros: