Suponha que alpha e beta sejam curvas diferenciáveis, c em R e f: R -> R uma função real diferenciável. Então,
© d/dt [f(t) alfa(t)] = f'(t) alfa(t) + f(t) alfa'(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que, se tivermos duas curvas diferenciáveis alpha(t) e uma função diferenciável f(t), a derivada do produto em relação a t é igual a . Ou seja, estamos trabalhando com o produto de funções vetoriais, e vamos usar a regra do produto para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa derivar um produto de duas funções. No caso de funções escalares, sabemos que a derivada do produto é dada por:
Aqui, f(t) e g(t) são funções que dependem de t, e essa é a famosa regra do produto. Nosso objetivo é aplicar algo semelhante, mas agora uma das funções é vetorial ( alpha(t)) e a outra é escalar ( f(t)).

Passo 3

Vamos considerar o produto . Como f(t) é escalar e alpha(t) é vetorial, o produto resulta em uma nova função vetorial. Para encontrar a derivada disso, vamos aplicar a definição de derivada para funções vetoriais:

Passo 4

Agora, adicionamos e subtraímos no numerador para facilitar a manipulação:
Isso pode ser reescrito como:

Passo 5

Agora, podemos separar os limites:
Reconhecemos os termos como derivadas:

Resposta

Portanto, mostramos que:

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