Suponha que
e
sejam curvas diferenciáveis,
e
uma função real diferenciável. Então,
©
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que, se tivermos duas curvas diferenciáveis
e uma função diferenciável
, a derivada do produto
em relação a
é igual a
. Ou seja, estamos trabalhando com o produto de funções vetoriais, e vamos usar a regra do produto para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa derivar um produto de duas funções. No caso de funções escalares, sabemos que a derivada do produto é dada por:
Aqui,
e
são funções que dependem de
, e essa é a famosa regra do produto. Nosso objetivo é aplicar algo semelhante, mas agora uma das funções é vetorial (
) e a outra é escalar (
).
Passo 3
Vamos considerar o produto
. Como
é escalar e
é vetorial, o produto resulta em uma nova função vetorial. Para encontrar a derivada disso, vamos aplicar a definição de derivada para funções vetoriais:
Passo 4
Agora, adicionamos e subtraímos
no numerador para facilitar a manipulação:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 5
Agora, podemos separar os limites:
Reconhecemos os termos como derivadas:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Um projétil é lançado com velocidade de disparo de
e ângulo de elevação de
de um ponto 10 m acima do nível do solo. Onde o projétil vai atingir o solo e com que velocidade escalar?
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Suponha que
. Encontre uma expressão para
(dica: lembre-se que
).
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.