Suponha que e sejam curvas diferenciáveis, e uma função real diferenciável. Então,
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que, se tivermos duas curvas diferenciáveis e uma função diferenciável , a derivada do produto em relação a é igual a . Ou seja, estamos trabalhando com o produto de funções vetoriais, e vamos usar a regra do produto para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa derivar um produto de duas funções. No caso de funções escalares, sabemos que a derivada do produto é dada por:
Aqui, e são funções que dependem de , e essa é a famosa regra do produto. Nosso objetivo é aplicar algo semelhante, mas agora uma das funções é vetorial ( ) e a outra é escalar ( ).

Passo 3

Vamos considerar o produto . Como é escalar e é vetorial, o produto resulta em uma nova função vetorial. Para encontrar a derivada disso, vamos aplicar a definição de derivada para funções vetoriais:

Passo 4

Agora, adicionamos e subtraímos no numerador para facilitar a manipulação:
Isso pode ser reescrito como:

Passo 5

Agora, podemos separar os limites:
Reconhecemos os termos como derivadas:

Resposta

Portanto, mostramos que:

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Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Suponha que . Encontre uma expressão para (dica: lembre-se que ).
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